1. Vamos calcular o limite $\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{\arctan(x)}}$. 2. Primeiro, note que $\sin x \to 0$ e $\arctan x \to 0$ quando $x \to 0$. 3. Para limites da forma $(1 + f(x))^{g(x)}$ com $f(x) \to 0$ e $g(x) \to \infty$ ou $-\infty$, usamos a fórmula do limite exponencial: $$\lim_{x \to a} (1 + f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} f(x) g(x)}$$ se o limite do expoente existir. 4. Aqui, temos $f(x) = \sin x$ e $g(x) = \frac{1}{\arctan x}$. 5. Calculamos o limite do produto $f(x) g(x) = \sin x \cdot \frac{1}{\arctan x} = \frac{\sin x}{\arctan x}$ quando $x \to 0$. 6. Sabemos que $\sin x \sim x$ e $\arctan x \sim x$ para $x \to 0$, então: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\arctan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$$ 7. Portanto, o limite original é: $$\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{\arctan x}} = e^{1} = e$$ --- 1. Agora, calculamos o limite $\lim_{x \to +\infty} \sin \left(\frac{1}{x}\right) e^{x}$. 2. Quando $x \to +\infty$, temos $\frac{1}{x} \to 0$, então $\sin \left(\frac{1}{x}\right) \to 0$. 3. Porém, $e^{x} \to +\infty$ muito rapidamente. 4. Vamos analisar o comportamento do produto: $$\sin \left(\frac{1}{x}\right) e^{x} \approx \frac{1}{x} e^{x}$$ pois $\sin y \sim y$ para $y \to 0$. 5. Como $\frac{e^{x}}{x} \to +\infty$ para $x \to +\infty$, o limite diverge para $+\infty$. 6. Portanto, o limite não existe finitamente e é infinito. Resposta final: (a) $e$ (b) $+\infty$