1. Planteamos el problema: calcular la longitud del cable modelado por la función $$y=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$$ en el intervalo $$x \in [-1,1]$$. 2. La fórmula para la longitud de una curva $$y=f(x)$$ en $$[a,b]$$ es: $$L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$$ 3. Derivamos $$y$$ respecto a $$x$$: $$y=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$$ Usamos la regla del cociente: $$y' = \frac{(2e^{2x})(2e^x) - (e^{2x}+1)(2e^x)}{(2e^x)^2}$$ 4. Simplificamos el numerador: $$= \frac{4e^{3x} - 2e^{3x} - 2e^x}{4e^{2x}} = \frac{2e^{3x} - 2e^x}{4e^{2x}}$$ 5. Factorizamos y simplificamos: $$= \frac{2e^x(e^{2x} - 1)}{4e^{2x}} = \frac{\cancel{2}e^x(e^{2x} - 1)}{\cancel{4}2e^{2x}} = \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{2e^{2x}}$$ 6. Simplificamos más: $$= \frac{e^{3x} - e^x}{2e^{2x}} = \frac{e^{3x}}{2e^{2x}} - \frac{e^x}{2e^{2x}} = \frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}$$ 7. Calculamos $$\left(y'\right)^2$$: $$\left(\frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}\right)^2 = \left(\frac{e^x}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{e^x}{2} \cdot \frac{1}{2e^x} + \left(\frac{1}{2e^x}\right)^2 = \frac{e^{2x}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4e^{2x}}$$ 8. Sumamos 1 para la fórmula de longitud: $$1 + \left(y'\right)^2 = 1 + \frac{e^{2x}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4e^{2x}} = \frac{1}{2} + \frac{e^{2x}}{4} + \frac{1}{4e^{2x}}$$ 9. Reescribimos para simplificar: $$= \frac{2}{4} + \frac{e^{2x}}{4} + \frac{1}{4e^{2x}} = \frac{2 + e^{2x} + e^{-2x}}{4}$$ 10. Observamos que $$e^{2x} + e^{-2x} = 2\cosh(2x)$$, entonces: $$1 + \left(y'\right)^2 = \frac{2 + 2\cosh(2x)}{4} = \frac{2(1 + \cosh(2x))}{4} = \frac{1 + \cosh(2x)}{2}$$ 11. Usamos la identidad $$\cosh(2x) = 2\cosh^2(x) - 1$$: $$1 + \left(y'\right)^2 = \frac{1 + 2\cosh^2(x) - 1}{2} = \frac{2\cosh^2(x)}{2} = \cosh^2(x)$$ 12. Por lo tanto: $$\sqrt{1 + \left(y'\right)^2} = \sqrt{\cosh^2(x)} = |\cosh(x)| = \cosh(x)$$ (porque $$\cosh(x) \geq 1$$ para todo $$x$$). 13. La longitud es: $$L = \int_{-1}^1 \cosh(x) \, dx = [\sinh(x)]_{-1}^1 = \sinh(1) - \sinh(-1) = 2\sinh(1)$$ 14. Calculamos $$\sinh(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} \approx \frac{2.7 - 0.37}{2} = \frac{2.33}{2} = 1.165$$ 15. Entonces: $$L \approx 2 \times 1.165 = 2.33$$ 16. La primera cifra decimal es 2.3. --- Respuesta final: La longitud del cable es aproximadamente **2.3**.