1. Planteamos el problema: calcular la longitud del cable modelado por la función $$y=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$$ en el intervalo $$x \in [-1,1]$$. 2. La fórmula para la longitud de una curva $$y=f(x)$$ en $$[a,b]$$ es: $$L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$$ 3. Derivamos $$y$$ respecto a $$x$$: $$y=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$$ Usamos la regla del cociente: $$y' = \frac{(2e^{2x})(2e^x) - (e^{2x}+1)(2e^x)}{(2e^x)^2}$$ 4. Simplificamos el numerador: $$= \frac{4e^{3x} - 2e^{3x} - 2e^x}{4e^{2x}} = \frac{2e^{3x} - 2e^x}{4e^{2x}}$$ 5. Factorizamos y simplificamos: $$= \frac{2e^x(e^{2x} - 1)}{4e^{2x}} = \frac{\cancel{2}e^x(e^{2x} - 1)}{\cancel{4}2e^{2x}} = \frac{e^{2x} - 1}{2e^x}$$ 6. Calculamos $$1 + (y')^2$$: $$1 + \left(\frac{e^{2x} - 1}{2e^x}\right)^2 = 1 + \frac{(e^{2x} - 1)^2}{4e^{2x}} = \frac{4e^{2x} + (e^{2x} - 1)^2}{4e^{2x}}$$ 7. Expandimos el cuadrado: $$(e^{2x} - 1)^2 = e^{4x} - 2e^{2x} + 1$$ 8. Sumamos en el numerador: $$4e^{2x} + e^{4x} - 2e^{2x} + 1 = e^{4x} + 2e^{2x} + 1$$ 9. Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto: $$e^{4x} + 2e^{2x} + 1 = (e^{2x} + 1)^2$$ 10. Por lo tanto: $$1 + (y')^2 = \frac{(e^{2x} + 1)^2}{4e^{2x}} = \left(\frac{e^{2x} + 1}{2e^x}\right)^2$$ 11. La raíz cuadrada es: $$\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = y$$ 12. La longitud es entonces: $$L = \int_{-1}^1 y \, dx = \int_{-1}^1 \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} \, dx$$ 13. Simplificamos la integral: $$\frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = \frac{e^{2x}}{2e^x} + \frac{1}{2e^x} = \frac{e^x}{2} + \frac{1}{2}e^{-x}$$ 14. Entonces: $$L = \int_{-1}^1 \left(\frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^x dx + \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^{-x} dx$$ 15. Calculamos cada integral: $$\int e^x dx = e^x + C$$ $$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$$ 16. Evaluamos en los límites: $$\frac{1}{2}[e^x]_{-1}^1 + \frac{1}{2}[-e^{-x}]_{-1}^1 = \frac{1}{2}(e^1 - e^{-1}) + \frac{1}{2}(-e^{-1} + e^1)$$ 17. Simplificamos: $$= \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + \frac{1}{2}(e - e^{-1}) = (e - e^{-1})$$ 18. Usamos la aproximación $$e \approx 2.7$$: $$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.7} \approx 0.37$$ 19. Calculamos: $$L \approx 2.7 - 0.37 = 2.33$$ 20. La primera cifra decimal es 2.3. **Respuesta final:** La longitud del cable es aproximadamente **2.3**.