1. Planteamos el problema: Encontrar los máximos y mínimos relativos de la función $$f(x) = \frac{x^2}{(x-1)^2}$$. 2. Para encontrar los extremos relativos, calculamos la derivada primera $$f'(x)$$ y buscamos los puntos críticos donde $$f'(x) = 0$$ o no está definida. 3. Usamos la regla del cociente para derivar: $$f'(x) = \frac{(2x)(x-1)^2 - x^2 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$$ 4. Simplificamos el numerador: $$2x(x-1)^2 - 2x^2(x-1) = 2x(x-1)[(x-1) - x] = 2x(x-1)(x-1 - x) = 2x(x-1)(-1) = -2x(x-1)$$ 5. Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{-2x(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{-2x \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)^4} (x-1)^3} = \frac{-2x}{(x-1)^3}$$ 6. Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos: $$\frac{-2x}{(x-1)^3} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ 7. La derivada no está definida en $$x=1$$ porque el denominador se anula, por lo que $$x=1$$ es un punto crítico también. 8. Evaluamos la segunda derivada o usamos la prueba de la primera derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos. 9. Probamos valores alrededor de $$x=0$$: - Para $$x=-1$$, $$f'(-1) = \frac{-2(-1)}{(-1-1)^3} = \frac{2}{(-2)^3} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4} < 0$$ (derivada negativa) - Para $$x=0.5$$, $$f'(0.5) = \frac{-2(0.5)}{(0.5-1)^3} = \frac{-1}{(-0.5)^3} = \frac{-1}{-0.125} = 8 > 0$$ (derivada positiva) La derivada cambia de negativa a positiva en $$x=0$$, por lo que $$x=0$$ es un mínimo relativo. 10. Para $$x=1$$, la función no está definida, por lo que no es un máximo o mínimo relativo. 11. Calculamos el valor de la función en $$x=0$$: $$f(0) = \frac{0^2}{(0-1)^2} = 0$$ **Respuesta final:** El único extremo relativo es un mínimo relativo en $$x=0$$ con valor $$f(0) = 0$$.