1. **Planteamiento del problema:** Se estudia la función por tramos: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - x}{e^x}, & x < 0 \\ x^2 - 2x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$$ Se pide: a) Estudiar la monotonía e interpretar resultados. b) Encontrar temperatura positiva con $f(x) = 1$ (mil abejas). c) Ecuación de la recta normal en $x=3$. 2. **a) Estudio de monotonía:** - Para $x<0$, derivamos: $$f(x) = \frac{1 - x}{e^x} = (1 - x)e^{-x}$$ Usamos la regla del producto: $$f'(x) = (1 - x)' e^{-x} + (1 - x)(e^{-x})' = (-1)e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = -e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x} = (x - 2)e^{-x}$$ Como $e^{-x} > 0$ para todo $x$, el signo de $f'(x)$ depende de $x - 2$. Para $x<0$, $x-2 < 0$, entonces $f'(x) < 0$ para $x<0$. - Para $x \geq 0$, $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Derivamos: $$f'(x) = 2x - 2$$ Signo de $f'(x)$: - Si $0 \leq x < 1$, $f'(x) < 0$ (decreciente). - Si $x > 1$, $f'(x) > 0$ (creciente). En $x=1$, $f'(1) = 0$ y $f''(x) = 2 > 0$, por lo que hay un mínimo relativo en $x=1$. **Interpretación:** - Para temperaturas negativas, la cantidad de abejas decrece conforme aumenta la temperatura. - Para temperaturas positivas, la cantidad decrece hasta $x=1$ y luego crece. - Hay un mínimo relativo en $x=1$ con $f(1) = 0$ (mínima cantidad de abejas). 3. **b) Temperatura positiva con $f(x) = 1$ (mil abejas):** Para $x \geq 0$: $$f(x) = (x-1)^2 = 1$$ Resolvemos: $$ (x-1)^2 = 1 \implies x-1 = \pm 1$$ $$x = 1 \pm 1$$ Soluciones: $$x=0 \quad \text{o} \quad x=2$$ Como buscamos temperatura positiva, $x=2$ºC. 4. **c) Ecuación de la recta normal en $x=3$:** - Calculamos $f(3)$: $$f(3) = (3-1)^2 = 2^2 = 4$$ - Derivada en $x=3$: $$f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$$ - Pendiente de la recta tangente en $x=3$ es $m_t = 4$. - Pendiente de la recta normal es la negativa recíproca: $$m_n = -\frac{1}{4}$$ - Ecuación punto-pendiente de la recta normal: $$y - f(3) = m_n (x - 3)$$ $$y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 3)$$ - Forma general: Multiplicamos todo por 4 para eliminar denominadores: $$4(y - 4) = -(x - 3)$$ $$4y - 16 = -x + 3$$ $$x + 4y - 19 = 0$$ **Respuesta final:** - a) La función decrece para $x<0$, decrece para $0 \leq x < 1$, crece para $x > 1$, con mínimo relativo en $x=1$. - b) La temperatura positiva con mil abejas es $x=2$ºC. - c) La ecuación de la recta normal en $x=3$ es $$x + 4y - 19 = 0$$.