1. Planteamos el problema: Estudiar la monotonía y curvatura de la función $$f(x) = \frac{x-3}{x+2}$$. 2. Dominio: La función está definida para todos los valores de $$x$$ excepto donde el denominador es cero, es decir, $$x \neq -2$$. 3. Derivada primera para estudiar monotonía: $$f'(x) = \frac{(x+2)\cdot 1 - (x-3)\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + 3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$$ 4. Observamos que $$f'(x) = \frac{5}{(x+2)^2} > 0$$ para todo $$x \neq -2$$, ya que el denominador al cuadrado es siempre positivo y el numerador es positivo. 5. Conclusión sobre monotonía: La función es estrictamente creciente en cada intervalo de su dominio. 6. Derivada segunda para estudiar curvatura: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5}{(x+2)^2} \right) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (x+2)^{-2} = 5 \cdot (-2)(x+2)^{-3} = -\frac{10}{(x+2)^3}$$ 7. Signo de $$f''(x)$$: - Para $$x > -2$$, $$x+2 > 0$$, entonces $$f''(x) = -\frac{10}{(x+2)^3} < 0$$, la función es cóncava hacia abajo. - Para $$x < -2$$, $$x+2 < 0$$, entonces $$f''(x) = -\frac{10}{(x+2)^3} > 0$$, la función es cóncava hacia arriba. 8. Resumen: - La función es creciente en todo su dominio. - Es cóncava hacia arriba para $$x < -2$$. - Es cóncava hacia abajo para $$x > -2$$. Respuesta final: La función $$f(x) = \frac{x-3}{x+2}$$ es estrictamente creciente en su dominio $$\mathbb{R} \setminus \{-2\}$$, con curvatura cóncava hacia arriba a la izquierda de $$x = -2$$ y cóncava hacia abajo a la derecha de $$x = -2$$.