1. Planteamos el problema: Encontrar la ecuación de la recta que es tangente simultáneamente a las gráficas de $$f(x) = x^2 + a$$ y $$g(x) = -x^2 - b$$ para $a=2$ y $b=4$. 2. La recta tangente a una función $h(x)$ en un punto $x=c$ tiene la forma: $$y = h'(c)(x - c) + h(c)$$ donde $h'(c)$ es la derivada de $h$ evaluada en $c$. 3. Sea la recta tangente común a ambas funciones en puntos $x_1$ para $f$ y $x_2$ para $g$: $$y = m x + n$$ con pendiente $m$ y ordenada al origen $n$. 4. La pendiente de la recta tangente a $f$ en $x_1$ es: $$m = f'(x_1) = 2 x_1$$ La pendiente de la recta tangente a $g$ en $x_2$ es: $$m = g'(x_2) = -2 x_2$$ 5. Igualamos las pendientes para que la recta sea la misma: $$2 x_1 = -2 x_2 \implies x_1 = -x_2$$ 6. La recta pasa por los puntos de tangencia: Para $f$: $$y = m x + n = f(x_1) = x_1^2 + a$$ Para $g$: $$y = m x + n = g(x_2) = -x_2^2 - b$$ 7. Evaluamos la recta en $x_1$ y $x_2$: $$m x_1 + n = x_1^2 + a$$ $$m x_2 + n = -x_2^2 - b$$ 8. Usamos $x_2 = -x_1$ y $m = 2 x_1$: $$2 x_1 \cdot x_1 + n = x_1^2 + a \implies 2 x_1^2 + n = x_1^2 + a$$ $$2 x_1 \cdot (-x_1) + n = -(-x_1)^2 - b \implies -2 x_1^2 + n = -x_1^2 - b$$ 9. Simplificamos ambas ecuaciones: $$2 x_1^2 + n = x_1^2 + a \implies n = a - x_1^2$$ $$-2 x_1^2 + n = -x_1^2 - b \implies n = -x_1^2 - b + 2 x_1^2 = x_1^2 - b$$ 10. Igualamos las dos expresiones para $n$: $$a - x_1^2 = x_1^2 - b \implies a + b = 2 x_1^2 \implies x_1^2 = \frac{a + b}{2}$$ 11. Para $a=2$ y $b=4$: $$x_1^2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \implies x_1 = \sqrt{3}$$ 12. Calculamos $m$ y $n$: $$m = 2 x_1 = 2 \sqrt{3}$$ $$n = a - x_1^2 = 2 - 3 = -1$$ 13. La ecuación de la recta tangente común es: $$y = 2 \sqrt{3} x - 1$$ --- **Respuesta final:** La recta tangente simultánea a $f$ y $g$ para $a=2$, $b=4$ es $$y = 2 \sqrt{3} x - 1$$