1. Planteamos el problema: calcular el límite $$\lim_{t \to 0} \frac{e^{0.3t} - 1}{t}$$ que representa la tasa promedio de crecimiento cuando el intervalo tiende a cero. 2. Verificamos la forma indeterminada: al sustituir $t=0$, obtenemos $$\frac{e^0 - 1}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$, que es una forma indeterminada. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital, que dice que si $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$ da una forma indeterminada $$\frac{0}{0}$$ o $$\frac{\infty}{\infty}$$, entonces $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$, siempre que este último límite exista. 4. Derivamos numerador y denominador respecto a $t$: $$f(t) = e^{0.3t} - 1 \implies f'(t) = 0.3 e^{0.3t}$$ $$g(t) = t \implies g'(t) = 1$$ 5. Evaluamos el nuevo límite: $$\lim_{t \to 0} \frac{0.3 e^{0.3t}}{1} = 0.3 e^0 = 0.3 \times 1 = 0.3$$ 6. Por lo tanto, la tasa promedio de crecimiento cuando el intervalo tiende a cero es $$0.3$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$$ que representa la rentabilidad instantánea cuando la tasa tiende a cero. 2. Verificamos la forma indeterminada: al sustituir $x=0$, obtenemos $$\frac{\ln(1+0)}{0} = \frac{0}{0}$$, forma indeterminada. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos: $$f(x) = \ln(1+x) \implies f'(x) = \frac{1}{1+x}$$ $$g(x) = x \implies g'(x) = 1$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = \frac{1}{1+0} = 1$$ 5. La rentabilidad instantánea cuando la tasa tiende a cero es $$1$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{t \to 0} \frac{1 - e^{-0.5t}}{t}$$ que representa la rapidez inicial de enfriamiento. 2. Verificamos la forma indeterminada: al sustituir $t=0$, obtenemos $$\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos: $$f(t) = 1 - e^{-0.5t} \implies f'(t) = 0.5 e^{-0.5t}$$ $$g(t) = t \implies g'(t) = 1$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{t \to 0} \frac{0.5 e^{-0.5t}}{1} = 0.5 e^0 = 0.5$$ 5. La rapidez inicial de enfriamiento es $$0.5$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$$ que representa el costo promedio cuando la producción es muy pequeña. 2. Verificamos la forma indeterminada: al sustituir $x=0$, obtenemos $$\frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos numerador y denominador: $$f(x) = x - \ln(1+x) \implies f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$$ $$g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1+x} \times \frac{1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)}$$ 5. Simplificamos cancelando $x$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}}{1+x} \times \frac{1}{2 \cancel{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)} = \frac{1}{2}$$ 6. El costo promedio cuando la producción es muy pequeña es $$\frac{1}{2}$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{e^x - 1}$$ que representa la intensidad normalizada de una señal. 2. Verificamos la forma indeterminada: al sustituir $x=0$, obtenemos $$\frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos: $$f(x) = \sin(2x) \implies f'(x) = 2 \cos(2x)$$ $$g(x) = e^x - 1 \implies g'(x) = e^x$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(2x)}{e^x} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$$ 5. La intensidad límite es $$2$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+4t)}{t}$$ que representa la velocidad instantánea al iniciar el movimiento. 2. Verificamos la forma indeterminada: $$\frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos: $$f(t) = \ln(1+4t) \implies f'(t) = \frac{4}{1+4t}$$ $$g(t) = t \implies g'(t) = 1$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{t \to 0} \frac{4/(1+4t)}{1} = 4$$ 5. La velocidad instantánea es $$4$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{\sin t}$$ que representa la concentración límite. 2. Verificamos la forma indeterminada: $$\frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital: Derivamos: $$f(t) = e^{2t} - 1 \implies f'(t) = 2 e^{2t}$$ $$g(t) = \sin t \implies g'(t) = \cos t$$ 4. Evaluamos el límite: $$\lim_{t \to 0} \frac{2 e^{2t}}{\cos t} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$$ 5. La concentración límite es $$2$$. --- 1. Planteamos el problema: calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$$ que representa el rendimiento límite de la máquina. 2. Verificamos la forma indeterminada: $$\frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$. 3. Aplicamos la Regla de L’Hôpital tres veces porque es una indeterminación de tipo $$\frac{0}{0}$$ con potencia 3 en el denominador. Primera derivada: $$f(x) = \tan x - x \implies f'(x) = \sec^2 x - 1$$ $$g(x) = x^3 \implies g'(x) = 3x^2$$ Límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \frac{0}{0}$$ indeterminado, aplicamos L’Hôpital otra vez. Segunda derivada: $$f''(x) = 2 \sec^2 x \tan x$$ $$g''(x) = 6x$$ Límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^2 x \tan x}{6x} = \frac{0}{0}$$ indeterminado, aplicamos L’Hôpital una vez más. Tercera derivada: $$f'''(x) = 2 \left( 2 \sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x \right)$$ $$g'''(x) = 6$$ Evaluamos en $x=0$: $$f'''(0) = 2 (2 \times 1 \times 0 + 1) = 2 \times 1 = 2$$ Por lo tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{f'''(0)}{g'''(0)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 6. El rendimiento límite de la máquina es $$\frac{1}{3}$$.