Suma Riemann 8Bfa93

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la suma de Riemann para la función $$f(x) = x^2 - 4$$ en el intervalo $$[1,4]$$. 2. **Fórmula de la suma de Riemann:** La suma de Riemann para $$n$$ subintervalos es: $$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$$ donde $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ y $$x_i^*$$ es un punto en el $$i$$-ésimo subintervalo. 3. **Datos:** - Intervalo: $$a=1$$, $$b=4$$ - $$\Delta x = \frac{4-1}{n} = \frac{3}{n}$$ 4. **Elección del punto de evaluación:** Usaremos los extremos derechos para $$x_i^*$$: $$x_i^* = a + i \Delta x = 1 + i \frac{3}{n}$$ 5. **Expresión de la suma:** $$S_n = \sum_{i=1}^n f\left(1 + i \frac{3}{n}\right) \cdot \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^n \left(\left(1 + i \frac{3}{n}\right)^2 - 4\right) \frac{3}{n}$$ 6. **Expandimos el cuadrado:** $$\left(1 + i \frac{3}{n}\right)^2 = 1 + 2 \cdot 1 \cdot i \frac{3}{n} + \left(i \frac{3}{n}\right)^2 = 1 + \frac{6i}{n} + \frac{9i^2}{n^2}$$ 7. **Sustituimos en la suma:** $$S_n = \sum_{i=1}^n \left(1 + \frac{6i}{n} + \frac{9i^2}{n^2} - 4\right) \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^n \left(-3 + \frac{6i}{n} + \frac{9i^2}{n^2}\right) \frac{3}{n}$$ 8. **Distribuimos $$\frac{3}{n}$$:** $$S_n = \sum_{i=1}^n \left(-3 \cdot \frac{3}{n} + \frac{6i}{n} \cdot \frac{3}{n} + \frac{9i^2}{n^2} \cdot \frac{3}{n}\right) = \sum_{i=1}^n \left(-\frac{9}{n} + \frac{18i}{n^2} + \frac{27i^2}{n^3}\right)$$ 9. **Separando la suma:** $$S_n = \sum_{i=1}^n -\frac{9}{n} + \sum_{i=1}^n \frac{18i}{n^2} + \sum_{i=1}^n \frac{27i^2}{n^3} = -9 + \frac{18}{n^2} \sum_{i=1}^n i + \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2$$ 10. **Usamos las fórmulas de sumas conocidas:** $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 11. **Sustituimos:** $$S_n = -9 + \frac{18}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 12. **Simplificamos:** $$S_n = -9 + 9 \frac{n+1}{n} + \frac{27}{6} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = -9 + 9 \frac{n+1}{n} + \frac{9}{2} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}$$ 13. **Tomamos el límite cuando $$n \to \infty$$ para obtener la integral:** $$\lim_{n \to \infty} S_n = -9 + 9 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} + \frac{9}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}$$ 14. **Calculamos los límites:** $$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2} = 2$$ 15. **Resultado final:** $$\int_1^4 (x^2 - 4) dx = -9 + 9 \cdot 1 + \frac{9}{2} \cdot 2 = -9 + 9 + 9 = 9$$ **Respuesta:** La suma de Riemann converge a $$9$$, que es el valor de la integral de $$f(x) = x^2 - 4$$ en $$[1,4]$$.