1. **Planteamiento del problema:** Debemos encontrar la tasa de variación media (TVM) de la función $$y = x^3 - 6x^2 - 9x + 4$$ en los intervalos $$[-3,-2]$$ y $$[-1,0]$$. 2. **Fórmula para la tasa de variación media:** La TVM entre dos puntos $$x=a$$ y $$x=b$$ se calcula con: $$\text{TVM} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Esta fórmula mide el cambio promedio de la función en el intervalo. 3. **Calcular TVM en $$[-3,-2]$$:** - Evaluamos $$f(-3)$$: $$f(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 - 9(-3) + 4 = -27 - 54 + 27 + 4 = -50$$ - Evaluamos $$f(-2)$$: $$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - 9(-2) + 4 = -8 - 24 + 18 + 4 = -10$$ - Calculamos TVM: $$\text{TVM} = \frac{-10 - (-50)}{-2 - (-3)} = \frac{40}{1} = 40$$ 4. **Calcular TVM en $$[-1,0]$$:** - Evaluamos $$f(-1)$$: $$f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - 9(-1) + 4 = -1 - 6 + 9 + 4 = 6$$ - Evaluamos $$f(0)$$: $$f(0) = 0 - 0 - 0 + 4 = 4$$ - Calculamos TVM: $$\text{TVM} = \frac{4 - 6}{0 - (-1)} = \frac{-2}{1} = -2$$ 5. **Interpretación:** - En $$[-3,-2]$$ la función crece rápidamente con una tasa media de 40. - En $$[-1,0]$$ la función decrece con una tasa media de -2. **Respuesta final:** - TVM en $$[-3,-2] = 40$$ - TVM en $$[-1,0] = -2$$