1. **Planteamiento del problema:** Calcular una aproximación para $\sqrt{4.2}$ usando un polinomio de Taylor de orden 4. 2. **Paso A: Función objetivo y centro de expansión** La función objetivo es $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Elegimos el centro $a = 4$ porque $\sqrt{4} = 2$ es fácil de calcular y está cerca de 4.2. 3. **Paso B: Construcción del polinomio de Taylor de orden 4 en $a=4$** La fórmula del polinomio de Taylor de orden 4 es: $$ P_4(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 $$ Calculamos las derivadas: $$ f(x) = x^{1/2} $$ $$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x^{3/2}} $$ $$ f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}x^{-5/2} = \frac{3}{8x^{5/2}} $$ $$ f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}x^{-7/2} = -\frac{15}{16x^{7/2}} $$ Evaluamos en $x=4$: $$ f(4) = 2 $$ $$ f'(4) = \frac{1}{2\times 2} = \frac{1}{4} $$ $$ f''(4) = -\frac{1}{4 \times 8} = -\frac{1}{32} $$ $$ f^{(3)}(4) = \frac{3}{8 \times 32} = \frac{3}{256} $$ $$ f^{(4)}(4) = -\frac{15}{16 \times 128} = -\frac{15}{2048} $$ Sustituimos en el polinomio: $$ P_4(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{32}\frac{(x-4)^2}{2} + \frac{3}{256}\frac{(x-4)^3}{6} - \frac{15}{2048}\frac{(x-4)^4}{24} $$ Simplificamos los coeficientes: $$ P_4(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 - \frac{15}{49152}(x-4)^4 $$ 4. **Paso C: Estimación del valor y error absoluto** Evaluamos en $x=4.2$: $$ P_4(4.2) = 2 + \frac{1}{4}(0.2) - \frac{1}{64}(0.2)^2 + \frac{1}{512}(0.2)^3 - \frac{15}{49152}(0.2)^4 $$ Calculamos cada término: $$ \frac{1}{4} \times 0.2 = 0.05 $$ $$ \frac{1}{64} \times 0.04 = 0.000625 $$ $$ \frac{1}{512} \times 0.008 = 0.000015625 $$ $$ \frac{15}{49152} \times 0.0016 \approx 0.000000488 $$ Entonces: $$ P_4(4.2) \approx 2 + 0.05 - 0.000625 + 0.000015625 - 0.000000488 = 2.049390137 $$ Valor exacto con calculadora: $$ \sqrt{4.2} \approx 2.049390153 $$ Error absoluto: $$ |2.049390153 - 2.049390137| = 1.6 \times 10^{-8} $$ 5. **Paso D: Resto de Lagrange y análisis** El resto de Lagrange para el polinomio de orden 4 es: $$ R_4(x) = \frac{f^{(5)}(c)}{5!}(x-a)^5 $$ con $c$ entre 4 y 4.2. Calculamos la quinta derivada: $$ f^{(5)}(x) = \frac{105}{32} x^{-9/2} $$ El máximo valor absoluto de $f^{(5)}(c)$ en $[4,4.2]$ es en $c=4$: $$ f^{(5)}(4) = \frac{105}{32 \times 4^{9/2}} = \frac{105}{32 \times 512} = \frac{105}{16384} \approx 0.00641 $$ Entonces: $$ |R_4(4.2)| \leq \frac{0.00641}{120} (0.2)^5 = \frac{0.00641}{120} \times 0.00032 \approx 1.7 \times 10^{-8} $$ Este valor es muy cercano al error absoluto estimado, confirmando la precisión del polinomio de Taylor. **Respuesta final:** $$ \sqrt{4.2} \approx 2.049390137 $$