1. Planteamos el problema: calcular una aproximación para $\sqrt{4.2}$ usando un polinomio de Taylor de orden 4. 2. Elegimos la función y el punto de expansión: sea $f(x) = \sqrt{x}$ y expandimos alrededor de $a=4$ porque $\sqrt{4}$ es fácil de calcular. 3. Recordamos la fórmula del polinomio de Taylor de orden 4 en $a$: $$ P_4(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 $$ 4. Calculamos las derivadas de $f(x) = x^{1/2}$: - $f(x) = x^{1/2}$ - $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ - $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ - $f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}x^{-5/2}$ - $f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}x^{-7/2}$ 5. Evaluamos las derivadas en $a=4$: - $f(4) = \sqrt{4} = 2$ - $f'(4) = \frac{1}{2} \times 4^{-1/2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$ - $f''(4) = -\frac{1}{4} \times 4^{-3/2} = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = -\frac{1}{32} = -0.03125$ - $f^{(3)}(4) = \frac{3}{8} \times 4^{-5/2} = \frac{3}{8} \times \frac{1}{32} = \frac{3}{256} = 0.01171875$ - $f^{(4)}(4) = -\frac{15}{16} \times 4^{-7/2} = -\frac{15}{16} \times \frac{1}{128} = -\frac{15}{2048} = -0.007324219$ 6. Calculamos $x - a = 4.2 - 4 = 0.2$ 7. Sustituimos en el polinomio: $$ P_4(4.2) = 2 + 0.25 \times 0.2 + \frac{-0.03125}{2} \times 0.2^2 + \frac{0.01171875}{6} \times 0.2^3 + \frac{-0.007324219}{24} \times 0.2^4 $$ 8. Simplificamos cada término: - $0.25 \times 0.2 = 0.05$ - $\frac{-0.03125}{2} = -0.015625$, entonces $-0.015625 \times 0.04 = -0.000625$ - $\frac{0.01171875}{6} = 0.001953125$, entonces $0.001953125 \times 0.008 = 0.000015625$ - $\frac{-0.007324219}{24} = -0.0003051758$, entonces $-0.0003051758 \times 0.0016 = -0.000000488$ 9. Sumamos todos los términos: $$ 2 + 0.05 - 0.000625 + 0.000015625 - 0.000000488 = 2.049390137 $$ 10. Por lo tanto, la aproximación de $\sqrt{4.2}$ usando el polinomio de Taylor de orden 4 es aproximadamente: $$ \boxed{2.049390} $$ Esto usa 6 cifras decimales para minimizar el error de truncamiento.