1. Planteamos el problema: calcular una aproximación de $\sqrt{4.2}$ usando un polinomio de Taylor de orden 4. 2. Elegimos la función y el punto de expansión: $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, y expandimos alrededor de $a=4$ porque $\sqrt{4}$ es fácil de calcular. 3. Calculamos las derivadas necesarias en $x=4$: $$f(x) = x^{1/2}$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$$ $$f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2}$$ $$f^{(3)}(x) = \frac{3}{8} x^{-5/2}$$ $$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16} x^{-7/2}$$ Evaluamos en $x=4$: $$f(4) = 2$$ $$f'(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$$ $$f''(4) = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = -\frac{1}{32} = -0.03125$$ $$f^{(3)}(4) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{32} = \frac{3}{256} = 0.01171875$$ $$f^{(4)}(4) = -\frac{15}{16} \times \frac{1}{128} = -\frac{15}{2048} = -0.00732421875$$ 4. Definimos $h = x - a = 4.2 - 4 = 0.2$. 5. Escribimos el polinomio de Taylor de orden 4: $$P_4(x) = f(a) + f'(a)h + \frac{f''(a)}{2!}h^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}h^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}h^4$$ 6. Calculamos cada término: $$f(a) = 2$$ $$f'(a)h = 0.25 \times 0.2 = 0.05$$ $$\frac{f''(a)}{2!}h^2 = \frac{-0.03125}{2} \times (0.2)^2 = -0.015625 \times 0.04 = -0.000625$$ $$\frac{f^{(3)}(a)}{3!}h^3 = \frac{0.01171875}{6} \times (0.2)^3 = 0.001953125 \times 0.008 = 0.000015625$$ $$\frac{f^{(4)}(a)}{4!}h^4 = \frac{-0.00732421875}{24} \times (0.2)^4 = -0.00030517578125 \times 0.0016 = -0.00000048828125$$ 7. Sumamos todos los términos para obtener la aproximación: $$P_4(4.2) = 2 + 0.05 - 0.000625 + 0.000015625 - 0.00000048828125 = 2.049390137\approx 2.049390$$ 8. Por lo tanto, la aproximación de $\sqrt{4.2}$ usando un polinomio de Taylor de orden 4 con 6 cifras decimales es $\boxed{2.049390}$.