1. O problema pede para verificar se a função $$f(x) = -x^4 + 8x^2 + 9$$ satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo $$[-3,3]$$ e, se sim, encontrar os valores de $$c$$ que satisfazem o teorema. 2. O Teorema de Rolle afirma que se uma função $$f$$ é contínua em $$[a,b]$$, diferenciável em $$(a,b)$$ e $$f(a) = f(b)$$, então existe pelo menos um $$c \in (a,b)$$ tal que $$f'(c) = 0$$. 3. Verificamos as condições: - $$f(x)$$ é um polinômio, logo contínua e diferenciável em todo $$\mathbb{R}$$. - Calculamos $$f(-3)$$ e $$f(3)$$: $$f(-3) = -(-3)^4 + 8(-3)^2 + 9 = -81 + 72 + 9 = 0$$ $$f(3) = -(3)^4 + 8(3)^2 + 9 = -81 + 72 + 9 = 0$$ Assim, $$f(-3) = f(3)$$. 4. Calculamos a derivada $$f'(x)$$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 8x^2 + 9) = -4x^3 + 16x$$ 5. Encontramos os valores de $$c$$ em $$(-3,3)$$ tais que $$f'(c) = 0$$: $$-4c^3 + 16c = 0$$ $$4c(-c^2 + 4) = 0$$ $$\Rightarrow 4c \cancel{(-c^2 + 4)} = 0$$ ou $$4 \cancel{c} (-c^2 + 4) = 0$$ (mostrando o cancelamento para cada fator) 6. Assim, as soluções são: $$c = 0$$ ou $$-c^2 + 4 = 0 \Rightarrow c^2 = 4 \Rightarrow c = \pm 2$$ 7. Os valores $$c = -2, 0, 2$$ estão todos no intervalo $$(-3,3)$$. 8. Portanto, pelo Teorema de Rolle, existem três valores $$c$$ no intervalo $$(-3,3)$$ tais que $$f'(c) = 0$$: $$c = -2, 0, 2$$.