1. Vamos começar por entender o que diz o Teorema de Rolle. 2. O Teorema de Rolle afirma que se uma função $f$ é contínua num intervalo fechado $[a,b]$, é diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$, e se $f(a) = f(b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ onde a derivada da função é zero, ou seja, $f'(c) = 0$. 3. Em termos simples, isso significa que se a função começa e termina no mesmo valor, então em algum lugar entre $a$ e $b$ a inclinação da curva é zero — a função tem um ponto "plano" ou um pico/vale. 4. A fórmula principal usada é: $$f'(c) = 0 \quad \text{para algum } c \in (a,b)$$ 5. Para aplicar o teorema, precisamos garantir três condições: - $f$ é contínua em $[a,b]$ (sem quebras ou saltos) - $f$ é diferenciável em $(a,b)$ (a derivada existe em todos os pontos internos) - $f(a) = f(b)$ (os valores da função nos extremos são iguais) 6. Exemplo: Suponha $f(x) = x^2 - 4x + 4$ no intervalo $[0,4]$. - Calculamos $f(0) = 0^2 - 0 + 4 = 4$ - Calculamos $f(4) = 16 - 16 + 4 = 4$ 7. Como $f(0) = f(4)$, e $f$ é polinomial (logo contínua e diferenciável), o teorema se aplica. 8. Derivamos $f(x)$: $$f'(x) = 2x - 4$$ 9. Procuramos $c$ tal que $f'(c) = 0$: $$2c - 4 = 0$$ $$2c = 4$$ $$c = \cancel{\frac{2c}{2}}{\frac{4}{2}} = 2$$ 10. O ponto $c=2$ está dentro do intervalo $(0,4)$, então o teorema de Rolle garante que a inclinação da função é zero nesse ponto. 11. Em resumo, o teorema ajuda a encontrar pontos onde a função tem uma tangente horizontal, desde que as condições sejam satisfeitas. Espero que esta explicação clara e passo a passo ajude você a entender o Teorema de Rolle para sua prova!