1. Vamos começar entendendo o que é o Teorema de Rolle. 2. O Teorema de Rolle afirma que se uma função $f$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$, diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$, e se $f(a) = f(b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que a derivada da função nesse ponto é zero, ou seja, $$f'(c) = 0.$$ 3. Importante: a função deve ser contínua e diferenciável para que o teorema se aplique. 4. Vamos analisar um exemplo para entender melhor. 5. Suponha que $f(x) = x^2 - 4x + 4$ no intervalo $[0,4]$. Note que $f(0) = 0^2 - 0 + 4 = 4$ e $f(4) = 16 - 16 + 4 = 4$, então $f(0) = f(4)$. 6. A função $f$ é um polinômio, logo é contínua e diferenciável em todo lugar. 7. Calculamos a derivada: $$f'(x) = 2x - 4.$$ 8. Segundo o Teorema de Rolle, existe $c$ em $(0,4)$ tal que $f'(c) = 0$. 9. Resolvendo: $$2c - 4 = 0 \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2.$$ 10. Portanto, no ponto $c=2$, a derivada é zero, confirmando o teorema. 11. Em resumo, o Teorema de Rolle garante que se a função começa e termina com o mesmo valor em um intervalo, então em algum ponto intermediário a inclinação da tangente é zero.