1. Planteamos el problema: Dada la función $f(x) = x^2 - 2x$ en el intervalo $[0,2]$, debemos determinar si es aplicable el Teorema de Rolle y, si es así, encontrar los valores $c$ en $[0,2]$ tales que $f'(c) = 0$. 2. Recordemos el Teorema de Rolle: Si una función $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$. 3. Verificamos las condiciones: - $f(x) = x^2 - 2x$ es un polinomio, por lo tanto es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, incluyendo $[0,2]$. - Calculamos $f(0) = 0^2 - 2\cdot0 = 0$ y $f(2) = 2^2 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0$. - Como $f(0) = f(2)$, se cumple la condición del teorema. 4. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 2x - 2$$ 5. Buscamos $c$ tal que $f'(c) = 0$: $$2c - 2 = 0$$ $$2c = 2$$ $$c = \cancel{\frac{2}{2}}{1}$$ 6. Verificamos que $c=1$ está en el intervalo $(0,2)$, lo cual es cierto. 7. Por lo tanto, el Teorema de Rolle es aplicable y el valor $c$ que satisface $f'(c) = 0$ es $c=1$. Respuesta final: $c=1$.