1. Vamos analisar a função dada: $$f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$$ e verificar o Teorema de Rolle no intervalo $$[1,3]$$. 2. O Teorema de Rolle afirma que se uma função $$f$$ é contínua em $$[a,b]$$, diferenciável em $$(a,b)$$ e $$f(a) = f(b)$$, então existe pelo menos um $$c \in (a,b)$$ tal que $$f'(c) = 0$$. 3. Primeiro, calculamos $$f(1)$$ e $$f(3)$$: $$f(1) = 1^3 - 4 \times 1^2 + 3 \times 1 = 1 - 4 + 3 = 0$$ $$f(3) = 3^3 - 4 \times 3^2 + 3 \times 3 = 27 - 36 + 9 = 0$$ 4. Como $$f(1) = f(3) = 0$$, a condição $$f(a) = f(b)$$ está satisfeita. 5. Agora, calculamos a derivada $$f'(x)$$: $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 3$$ 6. Para encontrar $$c$$, resolvemos $$f'(c) = 0$$: $$3c^2 - 8c + 3 = 0$$ 7. Aplicando a fórmula de Bhaskara: $$c = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 3 \times 3}}{2 \times 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6}$$ 8. Simplificando $$\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$: $$c = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$$ 9. Calculando os valores numéricos: $$c_1 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.45$$ $$c_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.21$$ 10. Como $$c_1 \notin (1,3)$$ e $$c_2 \in (1,3)$$, o valor $$c = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$$ satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo $$[1,3]$$. Resposta final: Existe $$c \approx 2.21$$ tal que $$f'(c) = 0$$ no intervalo $$[1,3]$$.