1. Planteamos el problema: ¿Se puede aplicar el Teorema del Valor Medio (TVM) a la función $$f(x) = \frac{1}{x}$$ en el intervalo $$[0,2]$$? 2. Recordemos el Teorema del Valor Medio: Si una función $$f$$ es continua en el intervalo cerrado $$[a,b]$$ y derivable en el intervalo abierto $$ (a,b) $$, entonces existe al menos un punto $$c \in (a,b)$$ tal que $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$. 3. Verificamos la continuidad de $$f(x)$$ en $$[0,2]$$. La función $$f(x) = \frac{1}{x}$$ no está definida en $$x=0$$, por lo que no es continua en $$[0,2]$$. 4. Debido a que la función no es continua en el extremo izquierdo del intervalo, no se cumplen las hipótesis del TVM. 5. Por lo tanto, **no se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a $$f(x) = \frac{1}{x}$$ en $$[0,2]$$**. Respuesta final: No, no se puede aplicar el Teorema del Valor Medio en este intervalo porque la función no es continua en $$[0,2]$$ debido a la discontinuidad en $$x=0$$.