1. Enunciado do problema: Determinar o volume do sólido que está abaixo do plano $$x + 2y + z = 1$$ e acima da região limitada pelas curvas $$x + y = 1$$ e $$x^2 + y = 1$$. 2. Primeiro, encontramos a região no plano xy limitada pelas curvas dadas. 3. As curvas são: - Linha reta: $$x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$$ - Curva: $$x^2 + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x^2$$ 4. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões de $$y$$: $$1 - x = 1 - x^2 \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$$ 5. Assim, $$x = 0$$ ou $$x = 1$$. Substituindo em $$y = 1 - x$$, temos os pontos de interseção: - Para $$x=0$$, $$y=1$$ - Para $$x=1$$, $$y=0$$ 6. A região limitada está entre as curvas $$y = 1 - x$$ (reta) e $$y = 1 - x^2$$ (parábola) para $$x$$ entre 0 e 1. 7. O volume do sólido é dado pela integral dupla da altura do sólido sobre a região: $$V = \iint_R (z_{superior} - z_{inferior}) \, dA$$ 8. O plano é $$x + 2y + z = 1 \Rightarrow z = 1 - x - 2y$$. Como o sólido está acima da região no plano xy, a altura é $$z = 1 - x - 2y$$. 9. Portanto, o volume é: $$V = \int_0^1 \int_{y=1 - x}^{y=1 - x^2} (1 - x - 2y) \, dy \, dx$$ 10. Calculamos a integral interna: $$\int_{1 - x}^{1 - x^2} (1 - x - 2y) \, dy = \left[(1 - x)y - y^2 \right]_{y=1 - x}^{y=1 - x^2}$$ 11. Avaliando nos limites: $$= (1 - x)(1 - x^2) - (1 - x^2)^2 - \left[(1 - x)(1 - x) - (1 - x)^2\right]$$ 12. Note que $$ (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^2 = 0$$, então: $$= (1 - x)(1 - x^2) - (1 - x^2)^2$$ 13. Expandindo: $$ (1 - x)(1 - x^2) = 1 - x^2 - x + x^3$$ $$ (1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$$ 14. Substituindo: $$= (1 - x^2 - x + x^3) - (1 - 2x^2 + x^4) = 1 - x^2 - x + x^3 - 1 + 2x^2 - x^4 = -x + x^2 + x^3 - x^4$$ 15. Agora, o volume é: $$V = \int_0^1 (-x + x^2 + x^3 - x^4) \, dx$$ 16. Calculando a integral: $$\int_0^1 (-x + x^2 + x^3 - x^4) \, dx = \left[-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1$$ 17. Avaliando em 1: $$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = -0.5 + 0.3333 + 0.25 - 0.2 = -0.1167$$ 18. Como volume não pode ser negativo, interpretamos o valor absoluto: $$V = 0.1167$$ (aproximadamente) Resposta final: $$\boxed{\frac{7}{60}}$$ que é a forma exata de $$0.1167$$.