1. **Enunciado do problema:** Calcular o volume do sólido abaixo da superfície $$z = 2x + y^2$$ e acima da região limitada pelas curvas $$x = y^2$$ e $$x = y^3$$. 2. **Fórmula para volume por integração dupla:** O volume $$V$$ é dado por $$V = \iint_R z \, dA$$, onde $$R$$ é a região no plano $$xy$$. 3. **Determinar a região de integração:** A região $$R$$ é limitada por $$x = y^2$$ (parábola) e $$x = y^3$$. Para encontrar os limites de $$y$$, igualamos: $$y^2 = y^3 \Rightarrow y^2 - y^3 = y^2(1 - y) = 0$$ Logo, $$y = 0$$ ou $$y = 1$$. Assim, $$y$$ varia de 0 a 1. 4. **Limites de $$x$$:** Para cada $$y$$ fixo, $$x$$ varia de $$x = y^3$$ até $$x = y^2$$. 5. **Montar a integral dupla:** $$V = \int_0^1 \int_{y^3}^{y^2} (2x + y^2) \, dx \, dy$$ 6. **Calcular a integral interna em relação a $$x$$:** $$\int_{y^3}^{y^2} (2x + y^2) \, dx = \left[ x^2 + y^2 x \right]_{x = y^3}^{x = y^2}$$ 7. **Substituir os limites:** $$= (y^2)^2 + y^2 (y^2) - \left( (y^3)^2 + y^2 (y^3) \right) = y^4 + y^4 - (y^6 + y^5) = 2y^4 - y^6 - y^5$$ 8. **Integral externa em relação a $$y$$:** $$V = \int_0^1 (2y^4 - y^6 - y^5) \, dy = \int_0^1 2y^4 \, dy - \int_0^1 y^6 \, dy - \int_0^1 y^5 \, dy$$ 9. **Calcular cada integral:** $$\int_0^1 2y^4 \, dy = 2 \cdot \frac{y^5}{5} \Big|_0^1 = \frac{2}{5}$$ $$\int_0^1 y^6 \, dy = \frac{y^7}{7} \Big|_0^1 = \frac{1}{7}$$ $$\int_0^1 y^5 \, dy = \frac{y^6}{6} \Big|_0^1 = \frac{1}{6}$$ 10. **Somar os resultados:** $$V = \frac{2}{5} - \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = \frac{84}{210} - \frac{30}{210} - \frac{35}{210} = \frac{84 - 30 - 35}{210} = \frac{19}{210}$$ **Resposta final:** $$\boxed{\frac{19}{210}}$$