1. El problema consiste en encontrar el volumen del sólido bajo el paraboloide $$z=9-x^2-y^2$$ y sobre la región $$D$$ en el plano $$xy$$ limitada por la circunferencia $$x^2+y^2=9$$. 2. En coordenadas rectangulares, el volumen se calcula con la integral doble: $$V=\iint_D (9 - x^2 - y^2)\, dA$$ Donde $$D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 9\}$$. 3. La integral en coordenadas rectangulares es: $$V=\int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} (9 - x^2 - y^2) \, dy \, dx$$ 4. Para facilitar el cálculo, hacemos el cambio a coordenadas polares: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$ El jacobiano del cambio es $$dA = r \, dr \, d\theta$$. 5. La región $$D$$ en polares es $$0 \leq r \leq 3$$ y $$0 \leq \theta \leq 2\pi$$ porque la circunferencia es $$r=3$$. 6. La función a integrar en polares es: $$9 - x^2 - y^2 = 9 - r^2$$ 7. Por lo tanto, la integral en coordenadas polares es: $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^3 (9 - r^2) r \, dr \, d\theta$$ 8. Explicación: El cambio a coordenadas polares facilita el cálculo porque la región $$D$$ es un círculo, que se describe fácilmente con $$r$$ y $$\theta$$, y la función depende de $$x^2 + y^2 = r^2$$, simplificando la integral. 9. Calculamos la integral interna: $$\int_0^3 (9r - r^3) \, dr = \left[ \frac{9r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^3 = \frac{9 \cdot 9}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{2} - \frac{81}{4}$$ 10. Simplificamos: $$\frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{162}{4} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}$$ 11. Ahora la integral externa: $$V = \int_0^{2\pi} \frac{81}{4} \, d\theta = \frac{81}{4} \cdot 2\pi = \frac{81\pi}{2}$$ 12. Por lo tanto, el volumen del sólido es: $$\boxed{\frac{81\pi}{2}}$$