Volumen Region Ddf373

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular el volumen de la región encerrada entre las curvas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x$, y la línea horizontal $y = -4$. 2. **Interpretación geométrica:** La región encerrada está entre $f(x)$ y $g(x)$ sobre el eje $x$, y se extiende verticalmente hasta $y = -4$. Esto sugiere que el volumen se obtiene al rotar o extender esta región en el eje vertical desde $y=0$ hasta $y=-4$. 3. **Fórmula para el volumen:** Si consideramos que la región se extiende verticalmente desde $y=0$ hasta $y=-4$, el volumen se puede calcular integrando el área de la región entre $f(x)$ y $g(x)$ multiplicada por la altura $4$ (distancia entre $y=0$ y $y=-4$): $$ V = 4 \times \int_0^1 \left( f(x) - g(x) \right) dx $$ 4. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos $f(x) = g(x)$: $$ \sqrt{x} = x $$ $$ \Rightarrow x = x^2 $$ $$ \Rightarrow x^2 - x = 0 $$ $$ \Rightarrow x(x-1) = 0 $$ $$ \Rightarrow x=0 \text{ o } x=1 $$ 5. **Calcular la integral:** $$ \int_0^1 (\sqrt{x} - x) dx = \int_0^1 x^{1/2} dx - \int_0^1 x dx $$ Calculamos cada integral: $$ \int_0^1 x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} $$ $$ \int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} $$ Por lo tanto: $$ \int_0^1 (\sqrt{x} - x) dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} $$ 6. **Calcular el volumen:** $$ V = 4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} $$ 7. **Respuesta final:** El volumen de la región encerrada es $$\boxed{\frac{2}{3}}$$ unidades cúbicas.