1. **Planteamiento del problema:** Calcular el volumen $V$ del sólido generado por la región delimitada entre las curvas $y=9-x^2$ y $y=x+7$, rotada alrededor del eje $x$. 2. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las funciones para hallar los límites de integración: $$9 - x^2 = x + 7$$ $$9 - x^2 - x - 7 = 0$$ $$-x^2 - x + 2 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Factorizamos: $$(x+2)(x-1) = 0$$ Por lo tanto, $x=-2$ y $x=1$ son los límites de integración. 3. **Fórmula para el volumen por el método de los discos (o arandelas):** $$V = \pi \int_{a}^{b} \left(R(x)^2 - r(x)^2\right) dx$$ Donde $R(x)$ es la función superior y $r(x)$ la función inferior en el intervalo. 4. **Determinar $R(x)$ y $r(x)$:** Para $x \in [-2,1]$, $y=9-x^2$ está arriba y $y=x+7$ abajo. 5. **Expresión del volumen:** $$V = \pi \int_{-2}^{1} \left[(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2\right] dx$$ 6. **Expandir los cuadrados:** $$(9 - x^2)^2 = (9)^2 - 2 \cdot 9 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ $$(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$$ 7. **Sustituir en la integral:** $$V = \pi \int_{-2}^{1} \left(81 - 18x^2 + x^4 - x^2 - 14x - 49\right) dx$$ Simplificamos términos semejantes: $$81 - 49 = 32$$ $$-18x^2 - x^2 = -19x^2$$ Entonces: $$V = \pi \int_{-2}^{1} \left(x^4 - 19x^2 - 14x + 32\right) dx$$ 8. **Integrar término a término:** $$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$$ $$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$ $$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$ $$\int 1 dx = x$$ Por lo tanto: $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^{1}$$ 9. **Evaluar en los límites:** Para $x=1$: $$\frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32(1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32$$ Para $x=-2$: $$\frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32(-2) = \frac{-32}{5} - 19 \frac{-8}{3} - 14 \cdot 2 - 64$$ 10. **Simplificar cada evaluación:** Para $x=1$: $$\frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25$$ Para $x=-2$: $$-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92$$ 11. **Calcular la diferencia:** $$V = \pi \left[ \left(\frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25\right) - \left(-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92\right) \right]$$ $$= \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 + \frac{32}{5} - \frac{152}{3} + 92 \right)$$ 12. **Sumar fracciones y enteros:** Fracciones con denominador 5: $$\frac{1}{5} + \frac{32}{5} = \frac{33}{5}$$ Fracciones con denominador 3: $$-\frac{19}{3} - \frac{152}{3} = -\frac{171}{3} = -57$$ Enteros: $$25 + 92 = 117$$ 13. **Sumar todo:** $$V = \pi \left( \frac{33}{5} - 57 + 117 \right) = \pi \left( \frac{33}{5} + 60 \right)$$ Convertimos 60 a fracciones con denominador 5: $$60 = \frac{300}{5}$$ Entonces: $$V = \pi \left( \frac{33}{5} + \frac{300}{5} \right) = \pi \frac{333}{5} = \frac{333\pi}{5}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{V = \frac{333\pi}{5}}$$