1. **Stating the problem:** Calcolare la derivata prima della funzione $$f(x) = e^x \cdot \sqrt[3]{3x + \sin x}$$. 2. **Formula usata:** Per derivare un prodotto di due funzioni si usa la regola del prodotto: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ 3. **Identifichiamo le funzioni:** $$u(x) = e^x$$ $$v(x) = (3x + \sin x)^{\frac{1}{3}}$$ 4. **Deriviamo $u(x)$:** $$u'(x) = \frac{d}{dx} e^x = e^x$$ 5. **Deriviamo $v(x)$ usando la regola della catena:** $$v'(x) = \frac{1}{3}(3x + \sin x)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx}(3x + \sin x)$$ 6. **Deriviamo l'interno:** $$\frac{d}{dx}(3x + \sin x) = 3 + \cos x$$ 7. **Quindi:** $$v'(x) = \frac{1}{3}(3x + \sin x)^{-\frac{2}{3}} (3 + \cos x)$$ 8. **Applichiamo la regola del prodotto:** $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = e^x (3x + \sin x)^{\frac{1}{3}} + e^x \cdot \frac{1}{3}(3x + \sin x)^{-\frac{2}{3}} (3 + \cos x)$$ 9. **Fattorizziamo $e^x$ per semplificare:** $$f'(x) = e^x \left[(3x + \sin x)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}(3x + \sin x)^{-\frac{2}{3}} (3 + \cos x)\right]$$ **Risposta finale:** $$\boxed{f'(x) = e^x \left[(3x + \sin x)^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}(3x + \sin x)^{-\frac{2}{3}} (3 + \cos x)\right]}$$