1. **Enunciato del problema:** Calcolare la derivata della funzione $$f(x) = \frac{x\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x^2}$$. 2. **Formula e regole importanti:** Per derivare un quoziente $$\frac{u}{v}$$ si usa la regola del quoziente: $$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$$ Dove: - $$u = x\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}$$ - $$v = x^2$$ 3. **Calcolo delle derivate di $$u$$ e $$v$$:** - $$u = x x^{1/2} + x^{1/3} = x^{3/2} + x^{1/3}$$ - $$u' = \frac{3}{2} x^{1/2} + \frac{1}{3} x^{-2/3}$$ - $$v = x^2$$ - $$v' = 2x$$ 4. **Applicazione della regola del quoziente:** $$$f'(x) = \frac{\left(\frac{3}{2} x^{1/2} + \frac{1}{3} x^{-2/3}\right) x^2 - (x^{3/2} + x^{1/3}) 2x}{(x^2)^2} = \frac{\left(\frac{3}{2} x^{1/2} + \frac{1}{3} x^{-2/3}\right) x^2 - 2x (x^{3/2} + x^{1/3})}{x^4}$$$ 5. **Sviluppo e semplificazione:** $$$= \frac{\frac{3}{2} x^{1/2} x^2 + \frac{1}{3} x^{-2/3} x^2 - 2x^{5/2} - 2x^{4/3}}{x^4} = \frac{\frac{3}{2} x^{5/2} + \frac{1}{3} x^{4/3} - 2x^{5/2} - 2x^{4/3}}{x^4}$$$ 6. **Raggruppamento termini simili:** $$$= \frac{\left(\frac{3}{2} - 2\right) x^{5/2} + \left(\frac{1}{3} - 2\right) x^{4/3}}{x^4} = \frac{-\frac{1}{2} x^{5/2} - \frac{5}{3} x^{4/3}}{x^4}$$$ 7. **Risultato finale:** $$$f'(x) = - \frac{1}{2} x^{5/2 - 4} - \frac{5}{3} x^{4/3 - 4} = - \frac{1}{2} x^{-3/2} - \frac{5}{3} x^{-8/3} = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}} - \frac{5}{3 x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$$$ **Spiegazione:** Hai commesso un errore nel calcolo e nella semplificazione dei termini della derivata. In particolare, devi prima derivare correttamente $$u$$ e $$v$$, poi applicare la regola del quoziente e infine semplificare con attenzione le potenze di $$x$$. Il risultato corretto è quello mostrato al punto 7.