1. Il problema chiede di trovare la derivata seconda della funzione $$y=\frac{4\ln x - 2}{x^2}$$. 2. Per derivare questa funzione, useremo la regola del quoziente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ dove $$u=4\ln x - 2$$ e $$v=x^2$$. 3. Calcoliamo le derivate di $$u$$ e $$v$$: - $$u' = \frac{4}{x}$$ perché la derivata di $$\ln x$$ è $$\frac{1}{x}$$ e la costante -2 ha derivata 0. - $$v' = 2x$$. 4. Applichiamo la regola del quoziente per trovare $$y'$$: $$y' = \frac{\frac{4}{x} \cdot x^2 - (4\ln x - 2) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{4x - 2x(4\ln x - 2)}{x^4}$$ 5. Semplifichiamo il numeratore: $$4x - 2x(4\ln x - 2) = 4x - 8x\ln x + 4x = 8x - 8x\ln x$$ 6. Quindi: $$y' = \frac{8x - 8x\ln x}{x^4} = \frac{8x(1 - \ln x)}{x^4}$$ 7. Semplifichiamo dividendo numeratore e denominatore per $$x$$: $$y' = \frac{\cancel{8x}(1 - \ln x)}{\cancel{x} x^3} = \frac{8(1 - \ln x)}{x^3}$$ 8. Ora calcoliamo la derivata seconda $$y''$$ derivando $$y'$$: $$y' = 8(1 - \ln x) x^{-3}$$ 9. Usiamo la regola del prodotto per $$y''$$: $$y'' = 8 \left[ (1 - \ln x)' x^{-3} + (1 - \ln x)(x^{-3})' \right]$$ 10. Calcoliamo le derivate: - $$(1 - \ln x)' = -\frac{1}{x}$$ - $$(x^{-3})' = -3x^{-4}$$ 11. Sostituiamo: $$y'' = 8 \left[ -\frac{1}{x} x^{-3} + (1 - \ln x)(-3x^{-4}) \right] = 8 \left[ -x^{-4} - 3(1 - \ln x) x^{-4} \right]$$ 12. Fattorizziamo $$x^{-4}$$: $$y'' = 8 x^{-4} \left[ -1 - 3 + 3 \ln x \right] = 8 x^{-4} (3 \ln x - 4)$$ 13. Riscriviamo la derivata seconda: $$\boxed{y'' = \frac{8(3 \ln x - 4)}{x^4}}$$