1. **Problema:** Calcolare le derivate prime e seconde di $$z = 1 + 6yx^4 + 5x^2$$ rispetto a $$x$$ e $$y$$. 2. **Formula e regole:** Per funzioni di due variabili, la derivata parziale rispetto a $$x$$ si calcola trattando $$y$$ come costante, e viceversa. 3. **Derivata parziale rispetto a $$x$$:** $$\frac{\partial z}{\partial x} = 6y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^4) + \frac{\partial}{\partial x}(5x^2) = 6y \cdot 4x^3 + 10x = 24yx^3 + 10x$$ 4. **Derivata parziale seconda rispetto a $$x$$:** $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(24yx^3 + 10x) = 24y \cdot 3x^2 + 10 = 72yx^2 + 10$$ 5. **Derivata parziale rispetto a $$y$$:** $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(6yx^4) = 6x^4$$ (gli altri termini non dipendono da $$y$$) 6. **Derivata parziale seconda rispetto a $$y$$:** $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(6x^4) = 0$$ **Risultati finali:** - $$\frac{\partial z}{\partial x} = 24yx^3 + 10x$$ - $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 72yx^2 + 10$$ - $$\frac{\partial z}{\partial y} = 6x^4$$ - $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$$