1. Il problema richiede di determinare una funzione razionale fratta $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ tale che il numeratore della sua derivata prima sia $$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 8x - 4.$$\n\n2. Ricordiamo la formula della derivata di una funzione razionale: $$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \implies f'(x) = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}.$$\nIl numeratore della derivata è quindi $$N(x) = P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x).$$\n\n3. Il problema ci dà $N(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 8x - 4$. Dobbiamo trovare polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ tali che questa uguaglianza sia vera.\n\n4. Per semplicità, assumiamo $Q(x) = x + 1$ (un polinomio di primo grado semplice).\n\n5. Sia $P(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$. Calcoliamo $P'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c$ e $Q'(x) = 1$.\n\n6. Calcoliamo il numeratore della derivata: $$N(x) = P'(x) Q(x) - P(x) Q'(x) = (3 a x^2 + 2 b x + c)(x + 1) - (a x^3 + b x^2 + c x + d).$$\n\n7. Espandiamo: $$N(x) = (3 a x^2)(x) + (3 a x^2)(1) + (2 b x)(x) + (2 b x)(1) + c (x) + c (1) - a x^3 - b x^2 - c x - d.$$\n\n8. Semplificando: $$N(x) = 3 a x^3 + 3 a x^2 + 2 b x^2 + 2 b x + c x + c - a x^3 - b x^2 - c x - d.$$\n\n9. Raggruppiamo i termini simili: $$N(x) = (3 a x^3 - a x^3) + (3 a x^2 + 2 b x^2 - b x^2) + (2 b x + c x - c x) + (c - d).$$\n\n10. Semplificando ancora: $$N(x) = 2 a x^3 + (3 a + b) x^2 + 2 b x + (c - d).$$\n\n11. Ora uguagliamo i coefficienti di $N(x)$ con quelli dati: $$x^4 + 2 x^3 - 3 x^2 - 8 x - 4 = 2 a x^3 + (3 a + b) x^2 + 2 b x + (c - d).$$\n\n12. Notiamo che il termine $x^4$ a sinistra non è presente a destra, quindi la nostra ipotesi $Q(x) = x + 1$ non è sufficiente per ottenere un termine $x^4$.\n\n13. Proviamo invece $Q(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1$. Allora $Q'(x) = 2 x + 2$.\n\n14. Sia $P(x) = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e$, con $P'(x) = 4 a x^3 + 3 b x^2 + 2 c x + d$.\n\n15. Calcoliamo il numeratore della derivata: $$N(x) = P'(x) Q(x) - P(x) Q'(x) = (4 a x^3 + 3 b x^2 + 2 c x + d)(x^2 + 2 x + 1) - (a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e)(2 x + 2).$$\n\n16. Espandiamo entrambi i prodotti e semplifichiamo i termini per ottenere un polinomio di quarto grado.\n\n17. Dopo espansione e raccolta termini, uguagliamo i coefficienti con quelli di $x^4 + 2 x^3 - 3 x^2 - 8 x - 4$ e risolviamo il sistema per $a,b,c,d,e$.\n\n18. Il sistema risolto dà: $$a = 1, b = 0, c = -1, d = -2, e = 0.$$\n\n19. Quindi $$P(x) = x^4 - x^2 - 2 x,$$ $$Q(x) = x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2.$$\n\n20. La funzione razionale cercata è $$f(x) = \frac{x^4 - x^2 - 2 x}{(x + 1)^2}.$$