1. Problema: Calcolare i massimi, minimi liberi e punti di sella della funzione $$z = 2(x^2 + y^2 + 1) - (x^4 + y^4)$$. 2. Formula e regole: Per trovare i punti critici di una funzione di due variabili, calcoliamo le derivate parziali prime e le poniamo uguali a zero: $$\frac{\partial z}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0$$ Poi usiamo la matrice Hessiana per determinare la natura dei punti critici. 3. Calcolo delle derivate parziali: $$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 4y - 4y^3 = 4y(1 - y^2)$$ 4. Risolviamo il sistema: $$4x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ o } x=\pm 1$$ $$4y(1 - y^2) = 0 \Rightarrow y=0 \text{ o } y=\pm 1$$ 5. Punti critici: $$(0,0), (\pm 1,0), (0, \pm 1), (\pm 1, \pm 1)$$ 6. Calcoliamo la matrice Hessiana $H$: $$H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 12x^2 & 0 \\ 0 & 4 - 12y^2 \end{bmatrix}$$ 7. Valutiamo $H$ in ogni punto critico e usiamo il criterio: - Se $\det(H) > 0$ e $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$, punto di minimo. - Se $\det(H) > 0$ e $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0$, punto di massimo. - Se $\det(H) < 0$, punto di sella. 8. Calcoli: - In $(0,0)$: $$H = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}, \det(H) = 16 > 0, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 4 > 0$$ Minimo locale. - In $(\pm 1,0)$: $$H = \begin{bmatrix}4 - 12 = -8 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}, \det(H) = -32 < 0$$ Punto di sella. - In $(0, \pm 1)$: $$H = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & -8\end{bmatrix}, \det(H) = -32 < 0$$ Punto di sella. - In $(\pm 1, \pm 1)$: $$H = \begin{bmatrix}-8 & 0 \\ 0 & -8\end{bmatrix}, \det(H) = 64 > 0, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -8 < 0$$ Massimo locale. Risultato finale: - Minimo locale in $(0,0)$ - Massimi locali in $(\pm 1, \pm 1)$ - Punti di sella in $(\pm 1,0)$ e $(0, \pm 1)$