1. Il problema chiede di trovare le ascisse dei punti di massimo e minimo relativi della funzione $$y=x^3-2x^2-15x+1$$ e l'equazione della tangente nel punto di ascissa 0. 2. Per trovare i punti di massimo e minimo relativi, dobbiamo calcolare la derivata prima $$y'$$ e trovare i punti critici risolvendo $$y'=0$$. 3. Calcoliamo la derivata prima: $$y' = \frac{d}{dx}(x^3-2x^2-15x+1) = 3x^2 - 4x - 15$$ 4. Troviamo i punti critici risolvendo: $$3x^2 - 4x - 15 = 0$$ 5. Applichiamo la formula risolutiva per l'equazione quadratica: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{4 \pm 14}{6}$$ 6. Calcoliamo le due soluzioni: $$x_1 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ 7. Per determinare se questi punti sono massimo o minimo, calcoliamo la derivata seconda: $$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 15) = 6x - 4$$ 8. Valutiamo la derivata seconda nei punti critici: $$y''(-\frac{5}{3}) = 6 \cdot (-\frac{5}{3}) - 4 = -10 - 4 = -14 < 0$$ quindi $$x = -\frac{5}{3}$$ è un punto di massimo relativo. $$y''(3) = 6 \cdot 3 - 4 = 18 - 4 = 14 > 0$$ quindi $$x = 3$$ è un punto di minimo relativo. 9. Ora troviamo l'equazione della tangente nel punto di ascissa $$x=0$$. 10. Calcoliamo il valore della funzione in $$x=0$$: $$y(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 + 1 = 1$$ 11. Calcoliamo la derivata prima in $$x=0$$ per trovare la pendenza della tangente: $$y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 15 = -15$$ 12. L'equazione della retta tangente è: $$y = y(0) + y'(0)(x - 0) = 1 - 15x$$ 13. Quindi l'equazione della tangente nel punto di ascissa 0 è: $$y = -15x + 1$$