1. **Enunciato del problema:** Calcolare il polinomio di Taylor di grado due della funzione composta $f \circ g$ centrato nel punto $x_0 = 0$, dove $$f(x) = \ln(x + 2)$$ $$g(x) = x^2 + 3$$ 2. **Formula del polinomio di Taylor di grado 2 centrato in $x_0$:** $$P_2(x) = h(x_0) + h'(x_0)(x - x_0) + \frac{h''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$$ Dove $h = f \circ g$. 3. **Calcolo di $h(x) = f(g(x))$:** $$h(x) = \ln\big(g(x) + 2\big) = \ln\big(x^2 + 3 + 2\big) = \ln(x^2 + 5)$$ 4. **Calcolo della derivata prima $h'(x)$:** Usiamo la regola della catena: $$h'(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 5}$$ 5. **Calcolo della derivata seconda $h''(x)$:** Deriviamo $h'(x)$ usando il quoziente: $$h''(x) = \frac{(2)(x^2 + 5) - 2x(2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^2 + 10 - 4x^2}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-2x^2 + 10}{(x^2 + 5)^2}$$ 6. **Valutazione delle derivate in $x_0 = 0$:** $$h(0) = \ln(0^2 + 5) = \ln(5)$$ $$h'(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 5} = 0$$ $$h''(0) = \frac{-2 \cdot 0^2 + 10}{(0^2 + 5)^2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$$ 7. **Costruzione del polinomio di Taylor di grado 2:** $$P_2(x) = \ln(5) + 0 \cdot (x - 0) + \frac{2/5}{2} (x - 0)^2 = \ln(5) + \frac{1}{5} x^2$$ **Risposta finale:** $$\boxed{P_2(x) = \ln(5) + \frac{1}{5} x^2}$$