1. **Énoncé du problème** : Trouver l'aire de la région délimitée entre les courbes $y_1 = \sqrt{5 - x}$ et $y_2 = \sqrt{x}$, entre les droites verticales $x = 1$ et $x = 5$. 2. **Formule utilisée** : L'aire entre deux courbes $y_1$ et $y_2$ sur un intervalle $[a,b]$ est donnée par $$\text{Aire} = \int_a^b |y_1 - y_2| \, dx$$ 3. **Détermination de la courbe supérieure** : Pour $x$ entre 1 et 5, calculons $y_1$ et $y_2$ en un point test, par exemple $x=2$ : $$y_1 = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3} \approx 1.732$$ $$y_2 = \sqrt{2} \approx 1.414$$ Donc $y_1 > y_2$ sur cet intervalle, l'aire est $$\int_1^5 (\sqrt{5 - x} - \sqrt{x}) \, dx$$ 4. **Calcul de l'intégrale** : $$\int \sqrt{5 - x} \, dx = \int (5 - x)^{1/2} \, dx$$ Posons $u = 5 - x$, alors $du = -dx$, donc $$\int (5 - x)^{1/2} \, dx = -\int u^{1/2} \, du = -\frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{2}{3} (5 - x)^{3/2} + C$$ 5. Pour $\int \sqrt{x} \, dx$ : $$\int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$$ 6. **Expression complète de l'intégrale définie** : $$\int_1^5 (\sqrt{5 - x} - \sqrt{x}) \, dx = \left[-\frac{2}{3} (5 - x)^{3/2} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^5$$ 7. **Calcul des bornes** : Pour $x=5$ : $$-\frac{2}{3} (5 - 5)^{3/2} - \frac{2}{3} 5^{3/2} = -\frac{2}{3} \times 0 - \frac{2}{3} \times 5^{3/2} = -\frac{2}{3} \times 5^{3/2}$$ Pour $x=1$ : $$-\frac{2}{3} (5 - 1)^{3/2} - \frac{2}{3} 1^{3/2} = -\frac{2}{3} 4^{3/2} - \frac{2}{3} \times 1 = -\frac{2}{3} \times 8 - \frac{2}{3} = -\frac{16}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{18}{3} = -6$$ 8. **Valeur finale** : $$\text{Aire} = \left(-\frac{2}{3} 5^{3/2}\right) - (-6) = -\frac{2}{3} 5^{3/2} + 6$$ 9. **Simplification** : $$5^{3/2} = (\sqrt{5})^3 = 5 \sqrt{5}$$ Donc $$\text{Aire} = 6 - \frac{2}{3} \times 5 \sqrt{5} = 6 - \frac{10}{3} \sqrt{5}$$ **Réponse finale** : $$\boxed{6 - \frac{10}{3} \sqrt{5}}$$