1. Énonçons le problème : Calculer l'aire de la surface sous la courbe de $y=\sin x$ entre $x=-\frac{3\pi}{4}$ et $x=\frac{\pi}{2}$. 2. La formule pour l'aire sous une courbe entre deux points $a$ et $b$ est : $$\text{Aire} = \int_a^b f(x)\,dx$$ Ici, $f(x) = \sin x$, $a = -\frac{3\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{2}$. 3. Calculons l'intégrale : $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ 4. Appliquons la formule de l'intégrale définie : $$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)$$ 5. Calculons les valeurs de cosinus : $$\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 6. Donc : $$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = -0 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 7. L'aire sous la courbe est négative car la fonction est en dessous de l'axe des abscisses sur une partie de l'intervalle. Pour obtenir l'aire réelle (positive), on doit considérer la valeur absolue de l'intégrale ou décomposer l'intégrale en parties positives et négatives. 8. Décomposons l'intégrale en deux parties : $$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} \sin x\,dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$$ 9. Calculons chaque partie : $$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} = -\cos 0 + \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -1 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 10. Cette partie est négative, donc l'aire correspondante est : $$\left| -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right| = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 11. Pour la deuxième partie : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos 0 = 0 + 1 = 1$$ 12. L'aire totale est la somme des aires positives : $$\text{Aire totale} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 13. Conclusion : L'aire de la surface plus foncée sous la courbe $y=\sin x$ entre $x=-\frac{3\pi}{4}$ et $x=\frac{\pi}{2}$ est $$2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$