1. **Énoncé du problème :** Calculer l'intégrale $$\int_0^4 \cos^4 x \, dx$$. 2. **Formule utilisée :** Pour intégrer une puissance de cosinus, on utilise la formule de réduction ou l'expression en termes de cosinus multiples : $$\cos^4 x = \left(\cos^2 x\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x).$$ 3. **Simplification de $\cos^2 2x$ :** $$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.$$ 4. **Substitution dans l'intégrale :** $$\int_0^4 \cos^4 x \, dx = \int_0^4 \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) dx = \int_0^4 \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 4x}{2}\right) dx.$$ 5. **Regroupement des termes constants :** $$\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8}.$$ 6. **L'intégrale devient :** $$\int_0^4 \cos^4 x \, dx = \int_0^4 \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x\right) dx.$$ 7. **Intégration terme à terme :** - $$\int_0^4 \frac{3}{8} dx = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2}.$$ - $$\int_0^4 \frac{1}{2} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} \Big|_0^4 = \frac{1}{4} (\sin 8 - \sin 0) = \frac{\sin 8}{4}.$$ - $$\int_0^4 \frac{1}{8} \cos 4x \, dx = \frac{1}{8} \times \frac{\sin 4x}{4} \Big|_0^4 = \frac{1}{32} (\sin 16 - \sin 0) = \frac{\sin 16}{32}.$$ 8. **Résultat final :** $$\int_0^4 \cos^4 x \, dx = \frac{3}{2} + \frac{\sin 8}{4} + \frac{\sin 16}{32}.$$ Cette expression donne la valeur exacte de l'intégrale demandée.