1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale $$\int x^{-2} e^{\frac{1}{x}} \, dx$$. 2. Pour résoudre cette intégrale, on utilise la substitution. Posons $$t = \frac{1}{x}$$, alors $$x = \frac{1}{t}$$. 3. Calculons $$dx$$ en fonction de $$dt$$ : $$dx = -\frac{1}{t^2} dt$$. 4. Remplaçons dans l'intégrale : $$\int x^{-2} e^{\frac{1}{x}} \, dx = \int \left(\frac{1}{x^2}\right) e^{t} \left(-\frac{1}{t^2} dt\right)$$. 5. Or, $$x = \frac{1}{t} \Rightarrow x^{-2} = t^{2}$$, donc : $$\int t^{2} e^{t} \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int -e^{t} dt$$. 6. Simplifions en annulant $$t^{2}$$ : $$\int -e^{t} dt$$. 7. L'intégrale de $$-e^{t}$$ est : $$-e^{t} + C$$. 8. Enfin, revenons à la variable $$x$$ : $$-e^{\frac{1}{x}} + C$$. Réponse finale : $$\int x^{-2} e^{\frac{1}{x}} \, dx = -e^{\frac{1}{x}} + C$$.