1. Énoncé du problème : Calculer l'intégrale $$\int \frac{1}{x \ln(5x)} \, dx$$. 2. Formule et règles importantes : Pour intégrer une fonction de la forme $$\int \frac{1}{x \ln(ax)} \, dx$$, on utilise la substitution $$u = \ln(5x)$$. 3. Calcul de la substitution : - On pose $$u = \ln(5x)$$. - Alors, $$du = \frac{1}{5x} \times 5 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$$. 4. Remplacement dans l'intégrale : - L'intégrale devient $$\int \frac{1}{u} \, du$$. 5. Intégration : - $$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$$. 6. Retour à la variable initiale : - $$\ln|u| + C = \ln|\ln(5x)| + C$$. 7. Conclusion : - La solution finale est $$\boxed{\ln|\ln(5x)| + C}$$.