1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale définie de $$\int_0^{10} (25x - 5x - 2)(25x + 5x + 2) \, dx$$. 2. Simplifions d'abord les expressions dans chaque parenthèse : $$25x - 5x - 2 = 20x - 2$$ $$25x + 5x + 2 = 30x + 2$$ 3. Multiplions les deux expressions : $$ (20x - 2)(30x + 2) = 20x \times 30x + 20x \times 2 - 2 \times 30x - 2 \times 2 $$ $$ = 600x^2 + 40x - 60x - 4 = 600x^2 - 20x - 4 $$ 4. L'intégrale devient donc : $$ \int_0^{10} (600x^2 - 20x - 4) \, dx $$ 5. Intégrons terme à terme : $$ \int 600x^2 \, dx = 600 \times \frac{x^3}{3} = 200x^3 $$ $$ \int -20x \, dx = -20 \times \frac{x^2}{2} = -10x^2 $$ $$ \int -4 \, dx = -4x $$ 6. L'intégrale évaluée de 0 à 10 est : $$ \left[ 200x^3 - 10x^2 - 4x \right]_0^{10} = (200 \times 10^3 - 10 \times 10^2 - 4 \times 10) - (0) $$ $$ = 200 \times 1000 - 10 \times 100 - 40 = 200000 - 1000 - 40 = 198960 $$ 7. Vérification de l'équation donnée : $$85x - 306x = -221x$$ Cette expression n'est pas liée à l'intégrale calculée. Réponse finale : $$\boxed{198960}$$