1. Énonçons le premier problème : calculer l'intégrale indéfinie $$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx$$. 2. Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la division polynomiale car le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur. 3. Effectuons la division de $x^4$ par $x^2 + 1$ : $$x^4 \div (x^2 + 1) = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}$$ 4. Donc, l'intégrale devient : $$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx = \int (x^2 - 1) \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$$ 5. Calculons chaque intégrale séparément : - $$\int (x^2 - 1) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 1 \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C_1$$ - $$\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C_2$$ 6. En combinant les résultats et en regroupant les constantes d'intégration : $$\int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, dx = \frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$$ La réponse finale est donc : $$\boxed{\frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C}$$