1. Énonçons le problème : Résoudre l'intégrale $$\int \frac{3 \sqrt[3]{x} + 2 - 5 \sqrt[3]{x^2}}{4x^2} \, dx = 3$$. 2. Rappelons que $$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$$ et $$\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$$. 3. Réécrivons l'intégrale en puissances : $$\int \frac{3x^{1/3} + 2 - 5x^{2/3}}{4x^2} \, dx = \int \frac{3x^{1/3}}{4x^2} + \frac{2}{4x^2} - \frac{5x^{2/3}}{4x^2} \, dx$$ 4. Simplifions chaque terme en soustrayant les exposants dans le dénominateur : $$\int \frac{3}{4} x^{1/3 - 2} + \frac{1}{2} x^{-2} - \frac{5}{4} x^{2/3 - 2} \, dx = \int \frac{3}{4} x^{-5/3} + \frac{1}{2} x^{-2} - \frac{5}{4} x^{-4/3} \, dx$$ 5. Intégrons terme par terme en utilisant la formule $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ pour $$n \neq -1$$ : - Pour $$\frac{3}{4} x^{-5/3}$$ : $$\frac{3}{4} \int x^{-5/3} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{-5/3 + 1}}{-5/3 + 1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{-2/3}}{-2/3} = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) x^{-2/3} = -\frac{9}{8} x^{-2/3}$$ - Pour $$\frac{1}{2} x^{-2}$$ : $$\frac{1}{2} \int x^{-2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2} x^{-1}$$ - Pour $$-\frac{5}{4} x^{-4/3}$$ : $$-\frac{5}{4} \int x^{-4/3} dx = -\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} = -\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{-1/3}}{-1/3} = -\frac{5}{4} \cdot (-3) x^{-1/3} = \frac{15}{4} x^{-1/3}$$ 6. En combinant les résultats, l'intégrale est : $$-\frac{9}{8} x^{-2/3} - \frac{1}{2} x^{-1} + \frac{15}{4} x^{-1/3} + C$$ 7. C'est la solution générale de l'intégrale donnée.