1. Énonçons le problème : intégrer la fonction $x \times \sqrt{x^2 + 1}$. 2. La fonction à intégrer est $x \sqrt{x^2 + 1}$. Nous allons utiliser la substitution pour simplifier l'intégrale. 3. Posons $u = x^2 + 1$. Alors, la dérivée de $u$ par rapport à $x$ est $\frac{du}{dx} = 2x$, donc $du = 2x \, dx$. 4. On peut isoler $x \, dx$ : $$x \, dx = \frac{du}{2}$$ 5. Remplaçons dans l'intégrale : $$\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \times \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du$$ 6. Intégrons $\int u^{1/2} \, du$ : $$\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{3/2}$$ 7. Donc : $$\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{3} u^{3/2} + C$$ 8. Remplaçons $u$ par $x^2 + 1$ : $$\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$$ 9. Conclusion : L'intégrale de $x \sqrt{x^2 + 1}$ est $$\boxed{\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C}$$