1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale $$\int \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1} \, dx$$. 2. Rappelons la formule de factorisation pour les cubes : $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ Ici, on peut factoriser le dénominateur et le numérateur. 3. Factorisons le numérateur et le dénominateur : $$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$ $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ 4. L'intégrale devient : $$\int \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx$$ 5. Pour simplifier, on effectue une division polynomiale de $$\frac{x^3 - 1}{x^3 + 1}$$ : Divisons $$x^3 - 1$$ par $$x^3 + 1$$ : $$\frac{x^3 - 1}{x^3 + 1} = 1 - \frac{2}{x^3 + 1}$$ 6. L'intégrale devient donc : $$\int \left(1 - \frac{2}{x^3 + 1}\right) dx = \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx$$ 7. Intégrons la première partie : $$\int 1 \, dx = x + C$$ 8. Pour la deuxième partie, factorisons le dénominateur : $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ 9. Décomposons en fractions partielles : $$\frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$$ 10. Multiplions par le dénominateur commun : $$1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)$$ 11. Développons : $$1 = A x^2 - A x + A + B x^2 + B x + C x + C$$ $$1 = (A + B) x^2 + (-A + B + C) x + (A + C)$$ 12. Égalons les coefficients : $$\begin{cases} A + B = 0 \\ -A + B + C = 0 \\ A + C = 1 \end{cases}$$ 13. Résolvons le système : De la première équation : $$B = -A$$ Substituons dans la deuxième : $$-A + (-A) + C = 0 \Rightarrow -2A + C = 0 \Rightarrow C = 2A$$ Substituons dans la troisième : $$A + 2A = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$$ Donc $$B = -\frac{1}{3}$$ et $$C = \frac{2}{3}$$ 14. L'intégrale devient : $$-2 \int \left( \frac{1/3}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} \right) dx = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx - 2 \int \frac{-\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} dx$$ 15. Intégrons la première fraction : $$-\frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx = -\frac{2}{3} \ln|x + 1| + C$$ 16. Pour la deuxième intégrale, séparons : $$-2 \int \frac{-\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} dx = -2 \int \frac{-\frac{1}{3} x}{x^2 - x + 1} dx - 2 \int \frac{\frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} dx$$ 17. Simplifions les coefficients : $$= \frac{2}{3} \int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx - \frac{4}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 18. Pour la première intégrale, posons $$u = x^2 - x + 1$$, alors $$du = (2x - 1) dx$$. 19. On écrit $$x dx = \frac{du + dx}{2}$$, mais c'est plus simple de réécrire l'intégrale en termes de $$du$$ et $$dx$$. On peut décomposer : $$\int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx = \int \frac{2x - 1 + 1}{2(x^2 - x + 1)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 20. La première intégrale est : $$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + C$$ 21. La deuxième intégrale est : $$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 22. Donc : $$\int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 23. Revenons à l'expression complète : $$\frac{2}{3} \int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx - \frac{4}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx \right) - \frac{4}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 24. Simplifions : $$= \frac{1}{3} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx - \frac{4}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{3} \ln|x^2 - x + 1| - \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 25. Il reste à calculer : $$\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$ 26. Complétons le carré dans le dénominateur : $$x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$$ 27. L'intégrale devient : $$\int \frac{1}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} dx$$ 28. C'est une forme standard d'intégrale : $$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$ 29. En posant $$t = x - \frac{1}{2}$$, on obtient : $$\int \frac{1}{t^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) + C$$ 30. En revenant à $$x$$ : $$\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C$$ 31. Finalement, l'intégrale complète est : $$x - \frac{2}{3} \ln|x + 1| + \frac{1}{3} \ln|x^2 - x + 1| - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C$$ C'est la solution finale.