1. Énonçons le problème : calculer l'intégrale $$I = \int \frac{dx}{-x^2 + 2x + 8}$$. 2. Commençons par réécrire le dénominateur en complétant le carré : $$-x^2 + 2x + 8 = -(x^2 - 2x - 8) = -\left(x^2 - 2x + 1 - 1 - 8\right) = -\left((x-1)^2 - 9\right) = 9 - (x-1)^2$$ 3. L'intégrale devient donc : $$I = \int \frac{dx}{9 - (x-1)^2}$$ 4. Posons $t = x - 1$, donc $dt = dx$, et l'intégrale s'écrit : $$I = \int \frac{dt}{9 - t^2}$$ 5. Cette intégrale est de la forme $$\int \frac{dt}{a^2 - t^2}$$ avec $a=3$. La formule connue est : $$\int \frac{dt}{a^2 - t^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + t}{a - t} \right| + C$$ 6. Appliquons cette formule : $$I = \frac{1}{2 \times 3} \ln \left| \frac{3 + t}{3 - t} \right| + C = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + (x-1)}{3 - (x-1)} \right| + C$$ 7. Simplifions l'expression finale : $$I = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x + 2}{4 - x} \right| + C$$ Donc, la primitive recherchée est $$\boxed{I = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x + 2}{4 - x} \right| + C}$$