1. **Énoncé du problème :** Calculer les six premières intégrales données. 2. **Intégrale 1 :** $$\int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}} \, dx$$ - On remarque que le numérateur est $e^{2x} - e^{-2x}$ et le dénominateur $e^{2x} + e^{-2x}$. - Posons $u = e^{2x} + e^{-2x}$, alors $du = 2e^{2x} - 2e^{-2x} \, dx = 2(e^{2x} - e^{-2x}) \, dx$. - Donc, $e^{2x} - e^{-2x} \, dx = \frac{du}{2}$. L'intégrale devient : $$\int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|e^{2x} + e^{-2x}| + C$$ 3. **Intégrale 2 :** $$\int \sqrt{64 - x^2} \, dx$$ - C'est une intégrale classique de la forme $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$. - La formule est : $$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$$ - Ici, $a=8$, donc : $$\int \sqrt{64 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{64 - x^2} + 32 \arcsin\left(\frac{x}{8}\right) + C$$ 4. **Intégrale 3 :** $$\int \frac{3x \cdot \arctan(x^2)}{1 + x^4} \, dx$$ - Posons $t = x^2$, alors $dt = 2x \, dx$ donc $x \, dx = \frac{dt}{2}$. - Remarquons que $1 + x^4 = 1 + t^2$. - Réécrivons l'intégrale : $$\int \frac{3x \arctan(x^2)}{1 + x^4} \, dx = 3 \int \frac{x \arctan(t)}{1 + t^2} \, dx = 3 \int \frac{\arctan(t)}{1 + t^2} \cdot x \, dx = 3 \int \frac{\arctan(t)}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{3}{2} \int \frac{\arctan(t)}{1 + t^2} \, dt$$ - Posons $I = \int \frac{\arctan(t)}{1 + t^2} \, dt$. - Utilisons l'intégration par parties : - $u = \arctan(t)$ donc $du = \frac{1}{1 + t^2} dt$ - $dv = \frac{1}{1 + t^2} dt$ donc $v = \arctan(t)$ - Alors : $$I = u v - \int v \, du = \arctan(t)^2 - \int \arctan(t) \cdot \frac{1}{1 + t^2} dt = \arctan(t)^2 - I$$ - D'où $2I = \arctan(t)^2$ donc $I = \frac{\arctan(t)^2}{2} + C$. - Finalement : $$\int \frac{3x \arctan(x^2)}{1 + x^4} \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{\arctan(x^2)^2}{2} + C = \frac{3}{4} \arctan(x^2)^2 + C$$ 5. **Intégrale 4 :** $$\int \frac{4x}{\sqrt{2x + 3}} \, dx$$ - Posons $u = 2x + 3$, alors $du = 2 dx$, donc $dx = \frac{du}{2}$. - Aussi, $x = \frac{u - 3}{2}$. - Remplaçons dans l'intégrale : $$\int \frac{4x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{4 \cdot \frac{u - 3}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{2(u - 3)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{u - 3}{\sqrt{u}} \, du$$ - Simplifions : $$\int \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{3}{\sqrt{u}} \, du = \int u^{1/2} - 3 u^{-1/2} \, du = \int u^{1/2} \, du - 3 \int u^{-1/2} \, du$$ - Calculons chaque intégrale : $$\int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$ $$\int u^{-1/2} \, du = 2 u^{1/2} + C$$ - Donc : $$\int \frac{4x}{\sqrt{2x + 3}} \, dx = \frac{2}{3} u^{3/2} - 6 u^{1/2} + C = \frac{2}{3} (2x + 3)^{3/2} - 6 (2x + 3)^{1/2} + C$$ 6. **Intégrale 5 :** $$\int \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 6x + 5} \, dx$$ - Factorisons le dénominateur : $$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$$ - Effectuons la division polynomiale : Divisons $x^3 - 2x$ par $x^2 - 6x + 5$ : - Le quotient est $x$ car $x \cdot (x^2 - 6x + 5) = x^3 - 6x^2 + 5x$ - Le reste est : $$ (x^3 - 2x) - (x^3 - 6x^2 + 5x) = 6x^2 - 7x$$ - Donc : $$\frac{x^3 - 2x}{x^2 - 6x + 5} = x + \frac{6x^2 - 7x}{x^2 - 6x + 5}$$ - On intègre donc : $$\int x \, dx + \int \frac{6x^2 - 7x}{x^2 - 6x + 5} \, dx = \frac{x^2}{2} + \int \frac{6x^2 - 7x}{(x - 1)(x - 5)} \, dx$$ - Pour la fraction, posons : $$\frac{6x^2 - 7x}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 5}$$ - Multiplions par $(x - 1)(x - 5)$ : $$6x^2 - 7x = A(x - 5) + B(x - 1) = (A + B) x - 5A - B$$ - Égalons les coefficients : - Coefficient de $x^2$ : $6 = 0$ (impossible, donc on doit revoir) - En fait, le degré du numérateur est 2, celui du dénominateur aussi, donc on doit faire une division polynomiale complète. - Divisons $6x^2 - 7x$ par $x^2 - 6x + 5$ : - Quotient : $6$ - Produit : $6(x^2 - 6x + 5) = 6x^2 - 36x + 30$ - Reste : $(6x^2 - 7x) - (6x^2 - 36x + 30) = 29x - 30$ - Donc : $$\frac{6x^2 - 7x}{x^2 - 6x + 5} = 6 + \frac{29x - 30}{(x - 1)(x - 5)}$$ - L'intégrale devient : $$\int x \, dx + \int 6 \, dx + \int \frac{29x - 30}{(x - 1)(x - 5)} \, dx = \frac{x^2}{2} + 6x + \int \frac{29x - 30}{(x - 1)(x - 5)} \, dx$$ - Décomposons la fraction : $$\frac{29x - 30}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x - 5}$$ - Multiplions par $(x - 1)(x - 5)$ : $$29x - 30 = C(x - 5) + D(x - 1) = (C + D) x - 5C - D$$ - Égalons les coefficients : - $C + D = 29$ - $-5C - D = -30$ - Résolvons : - De la première, $D = 29 - C$ - Substituons dans la deuxième : $$-5C - (29 - C) = -30 \Rightarrow -5C - 29 + C = -30 \Rightarrow -4C = -1 \Rightarrow C = \frac{1}{4}$$ - Donc $D = 29 - \frac{1}{4} = \frac{116}{4} - \frac{1}{4} = \frac{115}{4}$ - L'intégrale devient : $$\int \frac{1/4}{x - 1} \, dx + \int \frac{115/4}{x - 5} \, dx = \frac{1}{4} \ln|x - 1| + \frac{115}{4} \ln|x - 5| + C$$ - Finalement : $$\int \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 6x + 5} \, dx = \frac{x^2}{2} + 6x + \frac{1}{4} \ln|x - 1| + \frac{115}{4} \ln|x - 5| + C$$ 7. **Intégrale 6 :** $$\int e^{3x} \cos(2x) \, dx$$ - Utilisons la formule pour l'intégrale de $e^{ax} \cos(bx)$ : $$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$$ - Ici, $a=3$, $b=2$, donc : $$\int e^{3x} \cos(2x) \, dx = \frac{e^{3x}}{3^2 + 2^2} (3 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C = \frac{e^{3x}}{13} (3 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C$$ --- **Résumé des résultats :** 1) $$\frac{1}{2} \ln|e^{2x} + e^{-2x}| + C$$ 2) $$\frac{x}{2} \sqrt{64 - x^2} + 32 \arcsin\left(\frac{x}{8}\right) + C$$ 3) $$\frac{3}{4} \arctan(x^2)^2 + C$$ 4) $$\frac{2}{3} (2x + 3)^{3/2} - 6 (2x + 3)^{1/2} + C$$ 5) $$\frac{x^2}{2} + 6x + \frac{1}{4} \ln|x - 1| + \frac{115}{4} \ln|x - 5| + C$$ 6) $$\frac{e^{3x}}{13} (3 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C$$