1. **Énoncé du problème :** Trouver le volume du solide généré par la rotation de la région délimitée par $y=\sqrt{x}$, $y=2$ et $x=0$ autour de : - L'axe des $x$ - La droite $x=4$ 2. **Volume autour de l'axe des $x$ :** La région est limitée par $y=\sqrt{x}$, $y=2$, et $x=0$. La borne supérieure en $x$ est trouvée en résolvant $\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4$. La méthode des disques/anneaux s'applique ici. Le volume est donné par : $$V=\pi \int_0^4 \left(\text{rayon extérieur}^2 - \text{rayon intérieur}^2\right) dx$$ Ici, le rayon extérieur est $2$ (la droite $y=2$) et le rayon intérieur est $\sqrt{x}$. Donc : $$V=\pi \int_0^4 \left(2^2 - (\sqrt{x})^2\right) dx = \pi \int_0^4 (4 - x) dx$$ 3. **Calcul de l'intégrale :** $$\int_0^4 (4 - x) dx = \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = (4 \times 4 - \frac{4^2}{2}) - 0 = (16 - 8) = 8$$ 4. **Volume final autour de l'axe des $x$ :** $$V = \pi \times 8 = 8\pi$$ --- 5. **Volume autour de la droite $x=4$ :** On utilise la méthode des cylindres (coquilles cylindriques). La hauteur de la coquille est la différence entre $y=2$ et $y=\sqrt{x}$. Le rayon de la coquille est la distance horizontale entre $x$ et $4$, soit $4 - x$. Le volume est : $$V = 2\pi \int_0^4 (\text{rayon}) \times (\text{hauteur}) dx = 2\pi \int_0^4 (4 - x)(2 - \sqrt{x}) dx$$ 6. **Développons l'intégrande :** $$(4 - x)(2 - \sqrt{x}) = 8 - 4\sqrt{x} - 2x + x\sqrt{x}$$ 7. **Intégrale à calculer :** $$V = 2\pi \int_0^4 \left(8 - 4\sqrt{x} - 2x + x\sqrt{x}\right) dx$$ 8. **Calculons chaque intégrale séparément :** - $\int_0^4 8 dx = 8x \big|_0^4 = 32$ - $\int_0^4 4\sqrt{x} dx = 4 \int_0^4 x^{1/2} dx = 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^4 = 4 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$ - $\int_0^4 2x dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 2 \times 8 = 16$ - $\int_0^4 x \sqrt{x} dx = \int_0^4 x^{3/2} dx = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^4 = \frac{2}{5} \times 32 = \frac{64}{5}$ 9. **Assemblage :** $$\int_0^4 (8 - 4\sqrt{x} - 2x + x\sqrt{x}) dx = 32 - \frac{64}{3} - 16 + \frac{64}{5}$$ Simplifions : $$= (32 - 16) + \left(-\frac{64}{3} + \frac{64}{5}\right) = 16 + \frac{64}{15}(-5 + 3) = 16 - \frac{128}{15} = \frac{240}{15} - \frac{128}{15} = \frac{112}{15}$$ 10. **Volume final autour de $x=4$ :** $$V = 2\pi \times \frac{112}{15} = \frac{224\pi}{15}$$ **Réponses finales :** - Volume autour de l'axe des $x$ : $8\pi$ - Volume autour de la droite $x=4$ : $\frac{224\pi}{15}$