1. Vamos resolver a primeira equação diferencial dada: $$\frac{dx}{dp} = - \frac{6000p}{(p^2 - 16)^{3/2}}$$ com a condição inicial $$x = 5000$$ quando $$p = 5$$. 2. Para encontrar $$x(p)$$, integramos ambos os lados em relação a $$p$$: $$x = \int - \frac{6000p}{(p^2 - 16)^{3/2}} dp + C$$ 3. Usamos a substituição $$u = p^2 - 16$$, então $$du = 2p dp$$, ou seja, $$p dp = \frac{du}{2}$$. 4. Substituindo na integral: $$x = -6000 \int \frac{p}{(p^2 - 16)^{3/2}} dp + C = -6000 \int \frac{1}{u^{3/2}} \cdot \frac{du}{2} + C = -3000 \int u^{-3/2} du + C$$ 5. Calculamos a integral: $$\int u^{-3/2} du = \int u^{-\frac{3}{2}} du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2 u^{-1/2} + K$$ 6. Substituindo de volta: $$x = -3000 \cdot (-2 u^{-1/2}) + C = 6000 u^{-1/2} + C = \frac{6000}{\sqrt{p^2 - 16}} + C$$ 7. Aplicamos a condição inicial para encontrar $$C$$: Quando $$p=5$$, $$x=5000$$: $$5000 = \frac{6000}{\sqrt{5^2 - 16}} + C = \frac{6000}{\sqrt{25 - 16}} + C = \frac{6000}{3} + C = 2000 + C$$ 8. Logo: $$C = 5000 - 2000 = 3000$$ 9. Portanto, a função que satisfaz as condições é: $$x(p) = \frac{6000}{\sqrt{p^2 - 16}} + 3000$$