1. Problema: Determinar la ecuación de la recta normal a la curva $y=x^3 - 4x + 1$ en el punto $(2,1)$. 2. Fórmulas y reglas importantes: - La pendiente de la tangente a la curva en un punto es la derivada $y' = \frac{dy}{dx}$ evaluada en ese punto. - La pendiente de la recta normal es la negativa recíproca de la pendiente de la tangente: $m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangente}}$. - La ecuación de la recta con pendiente $m$ que pasa por $(x_0,y_0)$ es $y - y_0 = m(x - x_0)$. 3. Derivamos la función para encontrar la pendiente de la tangente: $$y = x^3 - 4x + 1$$ $$y' = 3x^2 - 4$$ 4. Evaluamos la pendiente de la tangente en $x=2$: $$m_{tangente} = 3(2)^2 - 4 = 3 \times 4 - 4 = 12 - 4 = 8$$ 5. Calculamos la pendiente de la recta normal: $$m_{normal} = -\frac{1}{8}$$ 6. Usamos la fórmula de la recta normal que pasa por $(2,1)$: $$y - 1 = -\frac{1}{8}(x - 2)$$ 7. Simplificamos la ecuación: $$y - 1 = -\frac{1}{8}x + \frac{2}{8}$$ $$y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{4} + 1$$ $$y = -\frac{1}{8}x + \frac{5}{4}$$ --- 8. Problema: Encontrar la menor pendiente de la curva y el punto donde ocurre. 9. La pendiente es $y' = 3x^2 - 4$. Para encontrar la pendiente mínima, derivamos $y'$ para hallar extremos: $$y'' = 6x$$ 10. Igualamos $y''=0$ para encontrar puntos críticos: $$6x = 0 \Rightarrow x=0$$ 11. Evaluamos $y'$ en $x=0$ para encontrar la pendiente mínima: $$y'(0) = 3(0)^2 - 4 = -4$$ 12. Encontramos el punto en la curva para $x=0$: $$y = 0^3 - 4(0) + 1 = 1$$ 13. Por lo tanto, la menor pendiente es $-4$ y ocurre en el punto $(0,1)$. --- 14. Problema: Determinar las ecuaciones de las tangentes a la curva donde la pendiente es 8. 15. Igualamos la derivada a 8 para encontrar los puntos: $$3x^2 - 4 = 8$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ 16. Calculamos los puntos en la curva: Para $x=2$: $$y = 2^3 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$$ Para $x=-2$: $$y = (-2)^3 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$$ 17. La pendiente en ambos puntos es 8, así que la ecuación de la tangente en cada punto es: Para $x=2, y=1$: $$y - 1 = 8(x - 2)$$ $$y = 8x - 16 + 1 = 8x - 15$$ Para $x=-2, y=1$: $$y - 1 = 8(x + 2)$$ $$y = 8x + 16 + 1 = 8x + 17$$