1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un avión volando horizontalmente a una altura constante de 1500 m. El radar está en tierra y mide la distancia al avión. Cuando la distancia horizontal entre el radar y el avión es 2500 m, el avión se mueve a 180 m/s. Se pide determinar la rapidez con la que cambia la distancia entre el radar y el avión en ese instante. 2. **Fórmula y variables:** Sea $x$ la distancia horizontal entre el radar y el avión. Sea $z$ la distancia directa entre el radar y el avión (hipotenusa del triángulo rectángulo formado). La altura constante es $h = 1500$ m. Por el teorema de Pitágoras: $$z = \sqrt{x^2 + h^2}$$ 3. **Derivación para encontrar la tasa de cambio de $z$:** Derivamos ambos lados respecto al tiempo $t$: $$\frac{dz}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + h^2}} \cdot 2x \frac{dx}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}} \frac{dx}{dt}$$ 4. **Sustitución de valores conocidos:** $x = 2500$ m $h = 1500$ m $\frac{dx}{dt} = 180$ m/s Calculamos $z$: $$z = \sqrt{2500^2 + 1500^2} = \sqrt{6,250,000 + 2,250,000} = \sqrt{8,500,000}$$ 5. **Cálculo numérico:** $$z = \sqrt{8,500,000} = 2915.4759 \text{ m (aprox.)}$$ 6. **Calculamos $\frac{dz}{dt}$:** $$\frac{dz}{dt} = \frac{2500}{2915.4759} \times 180 = 0.8575 \times 180 = 154.35 \text{ m/s (aprox.)}$$ **Respuesta final:** La rapidez con la que cambia la distancia entre el radar y el avión en ese instante es aproximadamente **154.35 m/s**.