1. Planteamos el problema: Dos trenes parten simultáneamente desde la misma estación. Uno viaja hacia el norte a 90 km/h y el otro hacia el este a 120 km/h. 2. Queremos determinar la rapidez con la que cambia la distancia entre ambos trenes dos horas después de haber iniciado el recorrido. 3. Definimos variables: - Sea $x(t)$ la distancia del tren que va hacia el este al tiempo $t$ (en horas). - Sea $y(t)$ la distancia del tren que va hacia el norte al tiempo $t$. - Sea $z(t)$ la distancia entre los dos trenes al tiempo $t$. 4. Sabemos que: $$x(t) = 120t$$ $$y(t) = 90t$$ 5. La distancia entre los trenes está dada por el teorema de Pitágoras: $$z(t) = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$$ 6. Derivamos $z(t)$ respecto al tiempo $t$ para encontrar la rapidez con la que cambia la distancia: $$z(t) = \sqrt{(120t)^2 + (90t)^2} = \sqrt{14400t^2 + 8100t^2} = \sqrt{22500t^2} = 150t$$ 7. Derivando: $$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(150t) = 150$$ 8. Evaluamos a las dos horas ($t=2$): $$\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=2} = 150$$ 9. Por lo tanto, la rapidez con la que cambia la distancia entre los trenes dos horas después de iniciar el recorrido es 150 km/h.