1. Planteamos el problema: Un globo meteorológico asciende verticalmente a razón de 5 m/s y se desplaza horizontalmente a razón de 8 m/s. 2. Queremos determinar la rapidez con la que cambia la distancia entre el globo y el punto de lanzamiento cuando el globo está a 120 m de altura y 160 m horizontalmente. 3. Definimos variables: - $x(t)$: distancia horizontal al punto de lanzamiento (en metros). - $y(t)$: altura del globo (en metros). - $z(t)$: distancia directa del globo al punto de lanzamiento (en metros). 4. Sabemos que: $$x = 160, \quad y = 120$$ $$\frac{dx}{dt} = 8, \quad \frac{dy}{dt} = 5$$ 5. La distancia $z$ se calcula con el teorema de Pitágoras: $$z = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 6. Derivamos $z$ respecto al tiempo $t$ usando la regla de la cadena: $$\frac{dz}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x \frac{dx}{dt} + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y \frac{dy}{dt}$$ 7. Simplificamos: $$\frac{dz}{dt} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ 8. Sustituimos los valores: $$\frac{dz}{dt} = \frac{160 \times 8 + 120 \times 5}{\sqrt{160^2 + 120^2}}$$ 9. Calculamos el denominador: $$\sqrt{160^2 + 120^2} = \sqrt{25600 + 14400} = \sqrt{40000} = 200$$ 10. Calculamos el numerador: $$160 \times 8 = 1280$$ $$120 \times 5 = 600$$ $$1280 + 600 = 1880$$ 11. Finalmente: $$\frac{dz}{dt} = \frac{1880}{200} = 9.4$$ 12. Por lo tanto, la rapidez con la que cambia la distancia entre el globo y el punto de lanzamiento es de 9.4 m/s.